ここでは、比誘電率εrの薄くて広い平板の誘電体と細くて長い誘電体を均一な電界E0中に右図のように入れたときの界の分布を考える。
薄くて広い場合には、平板の中程は、均一な電束蜜度、電界,分極になっている。
平板の中程では、
電束蜜度は内部と外部で等しいので内部の電束蜜度Dは、D=ε0E0とかける。
よって内部の電界EはE=D/ε0εr=E0/εrとなる。内部の電界は、比誘電率に反比例して小さくなる。
電界が均一である為、分極も均一で分極による電荷は表面にのみ現れる。表面の分極による面電荷蜜度σは、表面を挟んだ面(面積Sの平行平面)で電界のガウスの定理を使えば、
図の左の境界で、
外側で、−E0S
内部で、 ES=E0/εrS
側面は0なので、E0/εrS−E0S=σS/ε0となる。
ゆえに左の界面における分極による電荷σ-は、
σ-=ε0(1/εr−1)E0=−ε0(εr−1)E となる。
右側の境界では、同様にして
σ+=ε0(1−1/εr)E0=ε0(εr−1)E となる。
元々の均一な電界E0にこの分極による電界が加わって誘電体内部の電界が形成されているので、誘電体内部では外部に比べて電界が小さくなる。
分極電荷の電荷分布は、平行平板の電荷分布と同じであるから、分極電荷の作る電界は、σ+からσ-に向かって大きさσ+/ε0となる。
分極電荷による電気力線は、すべて反対側の負の分極電荷へ向かう。この電界が誘電体内の電界を減少させる。
分極電荷による電界と元々の電界を合成すれば、(当然であるが)Eになる。
E0−σ/ε0=E0−(1−1/εr)E0=E0/εr=E
平板の周辺部を考える。
誘電体平板の中心部でまっすぐに切り落として端部を形成したと考える。そもそも平板の中心部で、すべての電気力線がまっすぐに反対側に向かったのは、
面上のそれぞれの電荷による電気力線をすべて合成した結果であった。
面の両側の正負の電荷をペアとして、双極子として考えれば(双極子の電気力線は、膨らんで対極に向かっており、
これが加わることによって、電気力線はまっすぐになっていたのであるから)、切り落とした側からの電気力線の寄与がなくなれば、電気力線は外に膨らむ。
端部のごく外側では、元々の電界と分極による電気力線が同じ方向になって強めあう為に電界が強くなる。(端部の横部分では、電界はやや減少し、
遠くなるほど減少の度合は小さくなる。平面の中央部外側では、電界の強さは元々の電界の強さと変わらない。)
細くて長い誘電体の場合には、分極による電荷分布は、電気双極子に極めて近くなる。よって、分極電荷による電気力線は、右図のように表される。
誘電体の端部の外側で、電気力線は、元々の電界を強めるように作用している。よって、誘電体端部の外側では、(平面も周辺も)電界が強くなることが分かる。