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空間における静電容量


 空間に導体の塊1、2、3、・・・が分布しているとする。この時、例えば導体1に電荷Q1が存在しているとすると この電荷は、空間に電界を及ぼし電位をもたらす。この電荷による導体1、2、・・・の電位をV11、V21、・・・ とする。さて、電荷Q1は、導体1の表面で電界が垂直になるように(導体1の表面に)分布している。 このような分布は、(空間の誘電率の分布に変化が無ければ、)一通りしかない。(電荷量Q1が倍になれば、導体1の表面上のすべての場所で電荷密度が倍になる。) ゆえに、電位は、電荷量に比例し、それぞれの導体1,2,・・・に与えられる電位は、
   V11=p111
   V21=p211
       ・
       ・
       ・
導体2へ電荷Q2を分布させれば、同様に
   V12=p122
   V22=p222
       ・
       ・

すべての導体に電荷が分布していれば、導体の電位は、それぞれの電荷がもたらす電位の和になるので、導体1の電位V1
1=V11+V12+・・・
  =p111+p122+・・・
  =Σp1jj(j;1、2、3、・・・)

他の導体の電位についても同様にかける。i番目の導体の電位Viは、
i=Σpijj(j;1、2、3、・・・)
ここで、pijは電位係数と呼ばれる。ある導体に電荷を与えた時、その電荷によって、導体がどれだけの電位をえるかをあらわす。 正電荷を与えれば、自身を含めて周囲の電位は正になる(負電荷なら電位は負になる)ので、pij≧0である。(導体が遮蔽されている時は0) また、自身から離れれば、電位は小さくなるので、pii>pij(i≠j)である。 また、静電エネルギーで触れるようにij=pjiである。



この導体の電荷と電位をあらわす式は、(例えば、n個の導体があれば、n元の)Qjに関する一次方程式とみなせる。 電位に関する式の数と電荷の変数の数は等しいので、一般にQjに関して解くことができる。 ゆえに、Qjは次のようにあらわすことができる。
 Qj=Σqjii(i;1、2、3、・・・)
ここで、jjを静電容量係数、qjiを静電誘導係数という。電位が正であれば、自身には正電荷(負電位ならば負電荷) があるはずであるから、qjj>0である。自身の電位を一定に保ったまま他の導体の電位が高くなるならば、他の導体は電荷が増加し、 自身の電位を上昇させる。電位を一定に保つ為には自身の電荷量を減少させねばならない。よって、他の導体の電位の上昇によって電荷量は減少する。 ゆえに、qji<0(i≠j)である。また、対称行列pijの逆行列によってqjiは表されるので、 qji=qijである。導体1を除いてすべての導体を接地すれば、 Q1=q111、Q2=q211、・・・ 導体1から出た電気力線は他の導体に吸収されるか無限遠に行ってしまうので、導体1から出た電気力線の総数は、他の導体に入ってゆく電気力線の総数に等しいか多くなる。
|Q1|≧|Q2+Q3+Q4+・・・|
|q111|≧|q211+q311+q411+・・・|

符号を考慮すれば、
11≧−(q21+q31+q41+・・・)
11+q21+q31+q41+・・・≧0
一般に、
  q1i+q2i+q3i+q4i+・・・≧0
ji=qijであるから、
  qi1+qi2+qi3+qi4+・・・≧0

 


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