右の図のように(真空中で)接地された導体平面から距離hの位置に点電荷Qがある。この時、点電荷の受ける力と導体表面に誘起される電荷を求める。
この場合の影像電荷は、点電荷から導体平面におろした垂線の足に対して、対称な位置に−Qの点電荷(影像電荷)を考えれば良い。
点電荷Qに対しては、導体平面もこの影像電荷も同じ効果を与える。
点電荷Qの受ける力は、点電荷Qの位置において−Qの影像電荷が及ぼす電界で決る。
この電界の方向は、点電荷と影像電荷を結ぶ方向である。また、電荷の符号は互いに反対であるから、力は導体板に近づく方向に働く。
距離が2hであるから力Fは反発する方向を正に取ると、
F=−Q2/4πε0(2h)2=−Q2/16πε0h2
点電荷Qに働く力は、大きさ Q2/16πε0h2 で、平面導体に近づく方向である。
導体表面の面電荷蜜度σは、導体内部で電界が’0’であることから、導体表面での電束蜜度Dと等しい。
よって、導体表面での電束蜜度が導体表面に誘起される電荷の面電荷密度と一致する。
電界EによってD=ε0Eで与えられることを利用して、導体表面での電界を求める。
垂線の足を原点に取り、導体表面上の点を二次元の位置ベクトルrで表す。
電界Eは、導体表面に平行な成分Etと垂直な成分Elで表せば、
Et=Q/4πε0(|r|2+h2) *r/(|r|2+h2)1/2−Q/4πε0(|r|2+h2) *r/(|r|2+h2)1/2=0
El=Q/4πε0(|r|2+h2)
*(−h)/(|r|2+h2)1/2−Q/4πε0(|r|2+h2)
*(h)/(|r|2+h2)1/2
=−Q/2πε0(|r|2+h2)*h/(|r|2+h2)1/2
Etは導体表面に平行な成分であるから、導体表面では’0’である。(こうなるように影像電荷を考えたのであるから当然の結果である。) 電束蜜度の垂直成分が導体表面の面電荷密度と等しいので、いま|r|を垂線の足からの距離rであらわせば、面電荷密度σは、
σ=Dl=ε0El=−Q/2π*h/(r2+h2)3/2
誘起された全電荷量qは、
q=∫σrdθdr(θ;0〜2π、r;0〜∞)
=∫(−Q/2π*h/(r2+h2)3/2)2πrdr(r;0〜∞)
=−Qh∫1/(r2+h2)3/2)rdr(r;0〜∞)
=−Qh[−1/(r2+h2)1/2)](r;0〜∞)
=−Q
点電荷Qからでたすべての電気力線が導体表面で消滅するのであるから、総数−Q/ε0に相当する電荷−Qになる。