右の図のように、接地された半径Rの導体球の中心からH(H>R)の位置に点電荷Qがある。この時、点電荷の受ける力と 導体球表面に誘起される電荷を求める。
一般に、導体球においては導体球表面で電界が垂直で、導体球内部で電界が’0’になるように電荷が分布する。
この場合、先に示した’大きさと符号の異なる二つの点電荷がつくる電位’0’の等電位面が球面になることを考慮すると、
この面は接地した導体球の表面と見なすことができることが分かる。導体球の外側では、導体球表面に分布した電荷が作る電界と、点電荷の作る電界は
同じになる。よって、導体球表面の連続的な電荷分布は点電荷に置き換えて考えることができることが分かる。
等価な点電荷としては、先に示したように導体球の中心から点電荷の方へ向かって、R2/Hの位置に、−QR/H
の点電荷(影像電荷)を考えれば良い。
点電荷Qに対しては、接地された導体球もこの影像電荷も’導体球の外側では’同じ効果を与える。
点電荷Qの受ける力は、点電荷Qの位置において影像電荷が及ぼす電界で決る。
この電界の方向は、点電荷と影像電荷を結ぶ方向である。また、電荷の符号は互いに反対であるから、力は導体球に近づく方向に働く。
距離がH−R2/Hであるから力Fは反発する方向を正に取ると、
F=Q(−QR/H)/4πε0(H−R2/H)2
=−Q2RH/4πε0(H2−R2)2
点電荷Qに働く力は、大きさ Q2RH/4πε0(H2−R2)2 で、
導体球に近づく方向である。
導体表面の面電荷蜜度σは、導体内部で電界が’0’であることから導体表面での電束蜜度Dと等しい。
よって、導体表面での電束蜜度が導体表面に誘起される電荷の面電荷密度と一致する。
電界EによってD=ε0Eで与えられるので、導体表面での電界を求める。
接地された導体球の中心と点電荷と導体球表面の電荷密度を知りたい点rを含む平面を考えるとこれらの電荷の作る電界は常にこの面内にある。
この面内での電界Eを導体球表面に平行な成分Etと垂直な成分Elに分けて考える。
また、点rについて、点電荷と導体球中心を結ぶ線を軸として回転して与えられるすべての点で、電界Eは、同じである。
(もちろん空間におけるEは、点を回転(移動)すれば方向が変わる。しかし、先に考えた面内では、
回転しただけ’面’も回転して、この面内では電界Eが不変に見える。(こうなるように面を考えたということ))
導体球中心に対して、点電荷と点rのなす角をθとし、右のように変数を取れば、面内での電界Esは、
点電荷と影像電荷による電界EQ、Emの和として、
Eml=−(RQ/H)/4πε0Lm2*cosθm
Emt=−(RQ/H)/4πε0Lm2*sinθm
EQl=Q/4πε0LQ2*(−cosθQ)
EQt=Q/4πε0LQ2*sinθQ
ただし、Etはθの増加する方向、Elは、球の半径の増加する方向を正に取った。
Lmsin(θ+θm)=Rsinθ、R2/H+Lmcos(θ+θm)=Rcosθ
LQsinθQ’=Rsinθ、LQcosθQ’+Rcosθ=H、θQ=θ+θQ’
であるから変形して
Lm2=R2+(R2/H)2−2(R2/H)Rcosθ
=R2(1+(R/H)2−2(R/H)cosθ)
=R2μ(μ=1+(R/H)2−2(R/H)cosθとおいた)
cosθm=R(1−(R/H)cosθ)/Lm=(1−(R/H)cosθ)/μ1/2
sinθm=(R2/H)sinθ/Lm=(R/H)sinθ/μ1/2
LQ2=R2+H2−2HRcosθ
=H2(1+(R/H)2−2(R/H)cosθ)
=H2μ
cosθQ=(Hcosθ−R)/LQ=(cosθ−R/H)/μ1/2
sinθQ=Hsinθ/LQ=sinθ/μ1/2
これらの関係を代入して、
El=EQl+Eml
=−Q/4πε0LQ2*cosθQ
−(RQ/H)/4πε0Lm2*cosθm
=−Q/4πε0*((cosθ−R/H)/μ1/2/H2μ
+R/H*(1−(R/H)cosθ)/μ1/2/R2μ)
=−Q/4πε0μ3/2*(R/H)*(1/R2−1/H2)
=−Q/4πε0(1+(R/H)2−2(R/H)cosθ)3/2*(R/H)*(1/R2−1/H2)
=−Q/4πε0(H2+R2−2RHcosθ)3/2*(H2−R2)/R
Et=EQt+Emt
=Q/4πε0LQ2*sinθQ
−(RQ/H)/4πε0Lm2*sinθm
=Q/4πε0*(sinθ/μ1/2/H2μ
−(R/H)(R/H)sinθ/μ1/2/R2μ)
=0
(導体球表面で、電界が垂直になるように影像電荷を選んだのであるから’Et=0’になるのはあたりまえである。)
導体表面に誘起された電荷の面蜜度をσとすれば、
σ=ε0El=−Q/4π(H2+R2−2RHcosθ)3/2*(H2−R2)/R
q=∫σ2πRsinθRdθ(θ;0〜π)
=∫−Q/4π(H2+R2−2RHcosθ)3/2*(H2−R2)/R*2πRsinθRdθ(θ;0〜π)
=∫−QR/2(H2+R2−2RHcosθ)3/2*(H2−R2)*sinθdθ(θ;0〜π)
=∫−QR/2(H2+R2−2RHξ)3/2*(H2−R2)*dξ(ξ;−1〜1)
=[−QR(−2)/2(−2RH)(H2+R2−2RHξ)1/2*(H2−R2)](ξ;−1〜1)
=[−Q/2H(H2+R2−2RHξ)1/2*(H2−R2)](ξ;−1〜1)
=−Q/2H(H2+R2−2RH)1/2*(H2−R2)
+Q/2H(H2+R2+2RH)1/2*(H2−R2)
=−Q/2H|H−R|*(H2−R2)+Q/2H|H+R|*(H2−R2)
=−Q/2H*(H+R)+Q/2H*(H−R) (H>Rであるから)
=−QR/H