影像電荷を利用した電界等の計算（電気影像法）−−−接地されていない導体球と点電荷　II

　右の図のように、（孤立状態ではＱ₀（ｃ）に帯電した）接地していない半径Ｒの導体球の中心からＨ（Ｈ＞Ｒ）の位置に点電荷Ｑ（ｃ）がある。 この時、点電荷の受ける力と導体球表面に誘起される電荷を求める。

　一般に、導体球においては導体球表面で電界が垂直で、導体球内部で電界が’０’になるように電荷が分布する。 この場合、先に示した’大きさと符号の異なる二つの点電荷がつくる電位’０’の等電位面が球面になることを考慮すると、 この面は接地した（電位’０’の）導体球の表面と見なすことができることが分かる。導体球の外側では、導体球表面に分布した電荷が作る電界と、 点電荷の作る電界は同じになる。よって、導体球表面の連続的な電荷分布は点電荷に置き換えて考えることができることが分かる。 等価な点電荷としては、先に示したように導体球の中心から点電荷の方へ向かって、Ｒ²／Ｈの位置に、−ＱＲ／Ｈ（ｃ） の点電荷（影像電荷）を考えれば良い。
　点電荷Ｑに対しては、接地された導体球もこの影像電荷も’導体球の外側では’同じ効果を与える。 このような影像電荷を考えると、導体球は全体として、−ＱＲ／Ｈ（ｃ）なる電荷を持つことになる。（これだけの電荷を持つことによって 導体球は電位が’０’になっている。）
　今考えている導体球は、全体として電荷量が’Ｑ₀（ｃ）’でなければならないので、 −ＱＲ／Ｈ（ｃ）の電荷の他に、Ｑ₀＋ＱＲ／Ｈ（ｃ）の電荷が、導体球のどこかに分布していなければならない。さて、導体球表面では、電界は、導体球表面に対して垂直でなければならない。いま、Ｑ（ｃ）と−ＱＲ／Ｈ（ｃ）の二つの電荷が作る電界は導体球表面で垂直になっているので、残りの’ Ｑ₀＋ＱＲ／Ｈ（ｃ）’を導体球表面で電界が垂直になるように分布させればよいことになる。点電荷として、そのように電界が分布するのは、 導体球の中心にある場合のみである。よって、Ｑ₀＋ＱＲ／Ｈ（ｃ）を導体球中心に点電荷として与えれば、接地していないＱ₀（ｃ）の 電荷を持つ導体球とＱ（ｃ）の点電荷によって作られる電界を与えることができる。 （勿論、実際の導体球では導体球表面で電界が導体球表面に垂直で、導体球内部で’０’になるように導体球表面に電荷が分布する。 導体球の中心に　Ｑ₀＋ＱＲ／Ｈ（ｃ）、導体球の中心から点電荷の方へ向かって、Ｒ²／Ｈの位置に、−ＱＲ／Ｈ（ｃ）の二つの影像電荷を考えることになる。）

点電荷の受ける力を求める

　点電荷Ｑの受ける力は、導体球に分布した電荷が点電荷Ｑの位置に及ぼす電界で決る。この電界は、導体球の二つの影像電荷によって表される。 電界の方向は導体球の中心からＱ（ｃ）の点電荷に向かう方向（反発する方向）である。電界の大きさＥは、
　Ｅ＝（Ｑ₀＋ＱＲ／Ｈ）／４πε₀Ｈ²−（ＱＲ／Ｈ）／４πε₀（Ｈ−Ｒ²／Ｈ）²
　力Ｆは反発する方向を正に取ると、
　Ｆ＝ＱＥ
　　＝Ｑ（Ｑ₀＋ＱＲ／Ｈ）／４πε₀Ｈ²−（Ｑ²Ｒ／Ｈ）／４πε₀（Ｈ−Ｒ²／Ｈ）²
　　＝ＱＱ₀／４πε₀Ｈ²−（Ｑ²Ｒ／Ｈ）／４πε₀*（１／（Ｈ−Ｒ²／Ｈ）² −１／Ｈ²）
　　＝ＱＱ₀／４πε₀Ｈ²−（Ｑ²Ｒ／Ｈ³）／４πε₀ *（１／（１−（Ｒ／Ｈ）²）²−１）

導体球表面に誘起される電荷を求める

　導体表面の面電荷蜜度σは、導体内部で電界が’０’であることから導体表面での電束密度Ｄと等しい。 よって、導体表面（極近傍外側）での電束蜜度が導体表面に誘起される電荷の面電荷密度と一致する。
導体表面の極近傍外側での、電束密度Ｄは、電界ＥによってＤ＝ε₀Ｅで与えられるので、導体表面の極近傍外側での、電界Ｅを求める。（電束密度は、電界と同様に点電荷の作る電束密度を考えて、直接求めることもできる。）
導体球の中心と点電荷と導体球表面の電荷密度を知りたい点ｒを含む平面を考えるとこれらの電荷の作る電界は常にこの面内にある。 この面内での電界Ｅを導体球表面に平行な成分Ｅ_tと垂直な成分Ｅ_lに分けて考える。 また、点ｒについて、点電荷と導体球中心を結ぶ線を軸として回転して与えられるすべての点で、電界Ｅは、同じである。 （もちろん空間におけるＥは、点を回転（移動）すれば方向が変わる。しかし、先に考えた面内では、 回転しただけ’面’も回転して、この面内では電界Ｅが不変に見える。（こうなるように面を考えたということ））
　’導体球中心のＱ₀＋ＱＲ／Ｈの電荷’と、’Ｈにある点電荷Ｑ及びＲ²／Ｈに想定した−ＱＲ／Ｈの影像電荷’に分けて電界分布を考える。
　導体球中心に対して、点電荷と点ｒのなす角をθとし、右のように変数を取れば、面内での電界Ｅ_sは、 点電荷と影像電荷による電界Ｅ_Q、Ｅ_mの和として、

　　Ｅ_ml＝−（ＲＱ／Ｈ）／４πε₀Ｌ_m²*ｃｏｓθ_m
　　Ｅ_mt＝−（ＲＱ／Ｈ）／４πε₀Ｌ_m²*ｓｉｎθ_m
　　Ｅ_Ql＝Ｑ／４πε₀Ｌ_Q²*（−ｃｏｓθ_Q）
　　Ｅ_Qt＝Ｑ／４πε₀Ｌ_Q²*ｓｉｎθ_Q
　　Ｅ_Q0l＝（Ｑ₀＋ＲＱ／Ｈ）／４πε₀Ｒ²

ただし、Ｅ_tはθの増加する方向、Ｅ_lは、球の半径の増加する方向を正に取った。
Ｌ_mｓｉｎ（θ＋θ_m）＝Ｒｓｉｎθ、Ｒ²／Ｈ＋Ｌ_mｃｏｓ（θ＋θ_m）＝Ｒｃｏｓθ
Ｌ_Qｓｉｎθ_Q’＝Ｒｓｉｎθ、Ｌ_Qｃｏｓθ_Q’＋Ｒｃｏｓθ＝Ｈ、θ_Q＝θ＋θ_Q’
であるから変形して

　　Ｌ_m²＝Ｒ²＋（Ｒ²／Ｈ）²−２（Ｒ²／Ｈ）Ｒｃｏｓθ
　　　　＝Ｒ²（１＋（Ｒ／Ｈ）²−２（Ｒ／Ｈ）ｃｏｓθ）
　　　　＝Ｒ²μ（μ＝１＋（Ｒ／Ｈ）²−２（Ｒ／Ｈ）ｃｏｓθとおいた）

　　ｃｏｓθ_m＝Ｒ（１−（Ｒ／Ｈ）ｃｏｓθ）／Ｌ_m＝（１−（Ｒ／Ｈ）ｃｏｓθ）／μ^1/2
　　ｓｉｎθ_m＝（Ｒ²／Ｈ）ｓｉｎθ／Ｌ_m＝（Ｒ／Ｈ）ｓｉｎθ／μ^1/2

　　Ｌ_Q²＝Ｒ²＋Ｈ²−２ＨＲｃｏｓθ
　　　　＝Ｈ²（１＋（Ｒ／Ｈ）²−２（Ｒ／Ｈ）ｃｏｓθ）
　　　　＝Ｈ²μ

　　ｃｏｓθ_Q＝（Ｈｃｏｓθ−Ｒ）／Ｌ_Q＝（ｃｏｓθ−Ｒ／Ｈ）／μ^1/2
　　ｓｉｎθ_Q＝Ｈｓｉｎθ／Ｌ_Q＝ｓｉｎθ／μ^1/2

　これらの関係を代入して、

　Ｅ_l＝Ｅ_Ql＋Ｅ_ml＋Ｅ_Q0l
　　　＝−Ｑ／４πε₀Ｌ_Q²*ｃｏｓθ_Q −（ＲＱ／Ｈ）／４πε₀Ｌ_m²*ｃｏｓθ_m ＋（Ｑ₀＋ＲＱ／Ｈ）／４πε₀Ｒ²
　　　＝−Ｑ／４πε₀*（（ｃｏｓθ−Ｒ／Ｈ）／μ^1/2／Ｈ²μ ＋Ｒ／Ｈ*（１−（Ｒ／Ｈ）ｃｏｓθ）／μ^1/2／Ｒ²μ）＋（Ｑ₀＋ＲＱ／Ｈ）／４πε₀Ｒ²
　　　＝−Ｑ／４πε₀μ^3/2*（Ｒ／Ｈ）*（１／Ｒ²−１／Ｈ²）＋（Ｑ₀＋ＲＱ／Ｈ）／４πε₀Ｒ²
　　　＝−Ｑ／４πε₀（１＋（Ｒ／Ｈ）²−２（Ｒ／Ｈ）ｃｏｓθ）^3/2*（Ｒ／Ｈ）*（１／Ｒ²−１／Ｈ²）＋（Ｑ₀＋ＲＱ／Ｈ）／４πε₀Ｒ²
　　　＝−Ｑ／４πε₀（Ｈ²＋Ｒ²−２ＲＨｃｏｓθ）^3/2*（Ｈ²−Ｒ²）／Ｒ＋（Ｑ₀＋ＲＱ／Ｈ）／４πε₀Ｒ²

　Ｅ_t＝Ｅ_Qt＋Ｅ_mt
　　　＝Ｑ／４πε₀Ｌ_Q²*ｓｉｎθ_Q −（ＲＱ／Ｈ）／４πε₀Ｌ_m²*ｓｉｎθ_m
　　　＝Ｑ／４πε₀*（ｓｉｎθ／μ^1/2／Ｈ²μ −（Ｒ／Ｈ）（Ｒ／Ｈ）ｓｉｎθ／μ^1/2／Ｒ²μ）
　　　＝０

（導体球表面で、電界が垂直になるように影像電荷を選んだのであるから’Ｅ_t＝０’になるのはあたりまえである。）

　導体表面に誘起された電荷の面密度をσとすれば、
　　σ＝ε₀Ｅ_l＝−Ｑ／４π（Ｈ²＋Ｒ²−２ＲＨｃｏｓθ）^3/2*（Ｈ²−Ｒ²）／Ｒ＋（Ｑ₀＋ＲＱ／Ｈ）／４πＲ²

導体球表面に誘起される電荷の総量を求める

　　　ｑ＝∫σ２πＲｓｉｎθＲdθ（θ；０〜π）
　　　　＝∫（−Ｑ／４π（Ｈ²＋Ｒ²−２ＲＨｃｏｓθ）^3/2*（Ｈ²−Ｒ²）／Ｒ＋（Ｑ₀＋ＲＱ／Ｈ）／４πＲ²）*２πＲｓｉｎθＲdθ（θ；０〜π）
　　　　＝∫（−ＱＲ／２（Ｈ²＋Ｒ²−２ＲＨｃｏｓθ）^3/2*（Ｈ²−Ｒ²）＋（Ｑ₀＋ＲＱ／Ｈ）／２）*ｓｉｎθdθ（θ；０〜π）
　　　　＝∫（−ＱＲ／２（Ｈ²＋Ｒ²−２ＲＨξ）^3/2*（Ｈ²−Ｒ²）＋（Ｑ₀＋ＲＱ／Ｈ）／２）*dξ（ξ；−１〜１）
　　　　＝[−ＱＲ（−２）／２（−２ＲＨ）（Ｈ²＋Ｒ²−２ＲＨξ）^1/2*（Ｈ²−Ｒ²）＋（Ｑ₀＋ＲＱ／Ｈ）／２*ξ]（ξ；−１〜１）
　　　　＝[−Ｑ／２Ｈ（Ｈ²＋Ｒ²−２ＲＨξ）^1/2*（Ｈ²−Ｒ²）＋（Ｑ₀＋ＲＱ／Ｈ）／２*ξ]（ξ；−１〜１）
　　　　＝−Ｑ／２Ｈ（Ｈ²＋Ｒ²−２ＲＨ）^1/2*（Ｈ²−Ｒ²）
　　　　　＋Ｑ／２Ｈ（Ｈ²＋Ｒ²＋２ＲＨ）^1/2*（Ｈ²−Ｒ²）＋Ｑ₀＋ＲＱ／Ｈ
　　　　＝−Ｑ／２Ｈ｜Ｈ−Ｒ｜*（Ｈ²−Ｒ²）＋Ｑ／２Ｈ｜Ｈ＋Ｒ｜*（Ｈ²−Ｒ²）＋Ｑ₀＋ＲＱ／Ｈ
　　　　＝−Ｑ／２Ｈ*（Ｈ＋Ｒ）＋Ｑ／２Ｈ*（Ｈ−Ｒ）＋Ｑ₀＋ＲＱ／Ｈ　（Ｈ＞Ｒであるから）
　　　　＝−ＱＲ／Ｈ＋Ｑ₀＋ＲＱ／Ｈ
　　　　＝Ｑ₀

　孤立して持っている電荷量Ｑ₀（ｃ）と等しくなる。

これでこの項目は終わり

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