電荷が連続的に分布しているときの電界の計算例　線積分

電界の積分による表現において一般的な表式を示した。一般には、電界を求めることは難しいが、 特殊な場合には、求めることが出来る。ここでは、線積分で求める

太さを無視できる半径Ｒの円環上に均一に線電荷密度λ〔Ｃ／ｍ〕で電荷が分布する場合、円環の中心軸上の中心からの距離Ｈ〔ｍ〕の場所での電界を求める。

　円環の中心軸をｚ軸とし、円環を含むようにｘｙ平面を考える。ｘ軸からのなす角をφとすると円環上の総ての点（ｘ，ｙ）は、φによって（Ｒcosφ，Ｒsinφ）によって与えられる。 変数φによって電荷の分布は表現されるので、φ方向の微小量d φで切り取られる線分Ｒd φを点電荷(λＲd φ)と見立ててφについて､０〜２πまで積分すれ（たせ）ば、電界が得られる。

　（ｘ，ｙ，ｚ）で座標を表現することにして、φで与えられる位置にある微小電荷による電界d Ｅ（φ）は、

d Ｅ（φ）＝	λＲd φ		（−Ｒcosφ，−Ｒsinφ，Ｈ）	・・・（１）
	４πε０（Ｒ２＋Ｈ２）		（Ｒ２＋Ｈ２）１／２

と表現される。

Ｅ_ｘ，Ｅ_ｙ，Ｅ_ｚは、それぞれの成分を積分すれば得られる。

	２π		２π
Ｅｘ　＝	∫	d Ｅｘ　＝	∫	−λＲ２cosφd φ	・・・（２）
				４πε０（Ｒ２＋Ｈ２）３／２
	φ＝０		φ＝０

　Ｅ_ｘ＝０　　〔Ｎ／Ｃ〕　　・・・・（２’）

cosφの一周期にわたる積分であるから式（２）の値は’０’になる。
同様にＥ_ｙも計算されて、sinφの一周期にわたる積分であるから’０’になる。

	２π		２π
Ｅｙ　＝	∫	d Ｅｙ　＝	∫	−λＲ２sinφd φ	・・・（３）
				４πε０（Ｒ２＋Ｈ２）３／２
	φ＝０		φ＝０

　Ｅ_ｙ＝０　　〔Ｎ／Ｃ〕　　・・・・（３’）

Ｅ_ｚは、被積分関数が定数であるので、簡単に計算されて、

	２π		２π
Ｅｚ　＝	∫	d Ｅｚ　＝	∫	λＲＨd φ	・・・（４）
				４πε０（Ｒ２＋Ｈ２）３／２
	φ＝０		φ＝０

Ｅｚ　＝	λＲＨ	〔Ｎ／Ｃ〕　　・・・（４’）
	２ε０（Ｒ２＋Ｈ２）３／２

　φで表されるｘｙ平面上の点(Ｒcosφ,Ｒsinφ)において中心軸に対して反対方向の点(Ｒcos(φ+π),Ｒsin(φ+π))の電荷による電界を考えると、両者によって電界のｘｙ成分は打ち消される。総ての円環上の点において、同様に打ち消されるので、電界のｘ成分,ｙ成分は’０’となる。（このような考察を行なえば、始めから電界のｘ成分､ｙ成分は’０’となることは自明であるから、ｚ成分だけを計算すればよいことになる。）

　円環の中心軸上方に向かって正の方向をとる。電界は、円環の中心軸上では、軸に添って円環から外に向かう（電荷が負なら内に向かう）方向になる。電界を図示する。

これでこの項目は終わり

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