無限の広がりを持つ厚さを無視出来る平面上に均一に面電荷密度(σ〔C/m2〕)で電荷が分布する場合、平面の上方H〔m〕(点H) での電界を求める。
Hから平面におろした垂線の足をxyz座標の原点として、Hにむかってz軸をとる。電荷の分布する平面はxy平面で与えられる。
原点からの距離rとxy平面上でのx軸からの角度φを変数に選んで、xy平面上の点をあらわせば、r,φにより点(x,y)は、
x=rcosφ,y=rsinφとかける。変数rとφによって作られる微小平面の面積はrd
φd
rとなる。
この微小平面内の電荷を点電荷とみなしてHにできる電界d
Eは、電荷量がσrd
φd
rであるので、
E(φ)= | φd r |
|||
と表現される。
Ex,Ey,Ezは、r:0〜∞,φ:0〜2πを積分領域として、それぞれの成分を積分すれば得られる。
∞ | 2π | ∞ | 2π | ||||
Ex = | ∫ | ∫ | d Ex = | ∫ | ∫ | −σr2cosφd φd r | ・・・(2) |
4πε0(r2+H2)3/2 | |||||||
r=0 | φ=0 | r=0 | φ=0 |
cosφの一周期にわたる積分であるから式(2)の値は’0’になる。
同様にEyも計算されて、sinφの一周期にわたる積分であるから’0’になる。
∞ | 2π | ∞ | 2π | ||||
Ey = | ∫ | ∫ | d Ey = | ∫ | ∫ | −σr2sinφd φd r | ・・・(3) |
4πε0(r2+H2)3/2 | |||||||
r=0 | φ=0 | r=0 | φ=0 |
Ezは、φに関しては被積分関数が定数であるので、簡単に計算される。
∞ | 2π | ∞ | 2π | ||||
Ez = | ∫ | ∫ | d Ez = | ∫ | ∫ | σrHd φd r | ・・・(4) |
4πε0(r2+H2)3/2 | |||||||
r=0 | φ=0 | r=0 | φ=0 |
∞ | |||
= | ∫ | σHr | d r ・・・(4’) |
2ε0(r2+H2)3/2 | |||
r=0 |
式(4’)で、r2+H2 → t の様な変数変換をして積分すれば容易に積分値は求まって、
Ez= | σ | H |
〔N/C〕 ・・・(4”) | ||
2ε0 | |H| |
r,φで与えられる点(rcosφ,rsinφ)において中心軸に対して反対方向の点(rcos(φ+π),rsin(φ+π))の電荷による電界を考えると、
両者によって電界のxy成分は打ち消される。総ての平面上の点電荷に対して、同様に打ち消されるので、電界のx成分,y成分は’0’となる。
(このような考察を行なえば、始めから電界のx成分,y成分は’0’としてよいことが分かる。)
電界は、面に垂直な方向で、面から外に向かう(電荷が負なら内に向かう)方向になる。電界の大きさ(σ/2ε0〔N/C〕)は面からの距離には依存しない。電界を図示する。