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電荷が連続的に分布しているときの電界の計算例 面積分

 

電界の積分による表現において一般的な表式を示した。一般には、電界を求めることは、難しいが 特殊な場合には、求めることが出来る。ここでは、面積分で求める。

半径Rの厚さを無視できる球殻上に均一に面電荷密度 σ〔C/m〕で電荷が分布する場合、球殻の中心からHでの電界を求める。


 球殻の中心にxyz座標の原点をおき、球殻の中心からHへの方向にz軸をとる。球殻上に点Rをとり、その点と原点を結ぶ線のz軸からのなす角を θとし、点Rからxy平面におろした垂線の足と原点を結んだ線(長さはRsinθ)のx軸からのなす角をφとすれば、θ:0〜π、φ:0〜2π によって球殻上のすべての 点を表現できる。θ、φを微小量変化させてえられる球殻上の微小面の面積は、Rd θRsinθd φで与えられる。また、この点をxyz座標であらわせば、 (Rsinθcosφ,Rsinθsinφ,Rcosθ)となる。この微小面を点電荷とみなしてHにできる電界d は、 電荷量がσRd θRsinθd φ(=σR2sinθd θd φ)であるので、
 d σR2sinθd θd φ (−Rsinθconφ,−Rsinθsinφ,H−Rcosθ)    ・・・(1)


4πε((H−Rcosθ)+(Rsinθ)((H−Rcosθ)+(Rsinθ)1/2

と表される。 

=∫d であるから、電界のそれぞれの座標成分は、

π2ππ2π
 E =d  = −σRsinθcosφ d φd θ   ・・・(2)

4πε(R−2HRcosθ+H3/2
θ=0φ=0θ=0φ=0


π2ππ2π
 E =d  = −σRsinθsinφ d φd θ   ・・・(3)

4πε(R−2HRcosθ+H3/2
θ=0φ=0θ=0φ=0


π2ππ2π
 E =d  = σR(H−Rcosθ)sinθ d φd θ   ・・・(4)

4πε(R−2HRcosθ+H3/2
θ=0φ=0θ=0φ=0


積分範囲は、θ:0〜π,φ:0〜2πである。

、Eは、φについて積分すると0になるので、E=E=0である。 Eは、φに対して定数であるので、容易に積分されて、

π
 E = σR(H−Rcosθ)sinθd θ   ・・・(4’)

2ε(R−2HRcosθ+H3/2
θ=0

この積分を行えば

σR H−R H+R |H−R|−|H+R|
 


 − 
− 
   ・・・(4”)
2εHR|H−R||H+R|


H<Rのとき  
σR −2H


− 
 = 0  〔N/C〕  ・・・(5)
2εHR

H>Rのとき
 
σR −2R σR

− 
 = 
  〔N/C〕  ・・・(6)
2εε


 θ,φで与えられる点(Rsinθcosφ,Rsinθsinφ,Rcosθ)において中心軸に対して反対方向の点 (Rsinθcos(φ+π),Rsinθsin(φ+π),Rcosθ)の電荷による電界を考えると、 両者によって電界のxy成分は打ち消される。総ての平面上の点において、同様に打ち消されるので、電界のx成分,y成分は0となる。 (このような考察を行なえば、積分することなく電界のx成分,y成分は0となることが分かる)


電界は、球殻の中心から外に向かう(負の電荷なら内に向かう)方向になる。球殻内部では電界は0である。電界を図示する。 


これでこの項目は終わり

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積分計算の例

式(4’)で、cosθ=μとおけば、d μ=−sinθd μ(μ:1〜−1)となる。 積分範囲を(μ:−1〜1)とすれば、d μ=sinθd μとおける。

 E =σR (H−Rμ)d μ


2ε(R−2HRμ+H3/2
μ=−1


 積分 = d μ − Rμd μ


(R−2HRμ+H3/2(R−2HRμ+H3/2
μ=−1μ=−1


   = [ −2H ] [ −2Rμ ]

 −
−2HR(R−2HRμ+H1/2 −2HR(R−2HRμ+H1/2
−1−1

    + d μ

H(R−2HRμ+H1/2
μ=−1


   = [ ] [ μ ]

 −
R(R−2HRμ+H1/2 H(R−2HRμ+H1/2
−1−1

    + [ 2(R−2HRμ+H1/2]

−2H
−1

    =  −


 −


 +
|R−H||R+H| |R−H||R+H|


    −|R−H|−|R+H|



これをまとめれば、式(4”)になる。


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