d
Eは、
電荷量がσRd
θRsinθd
φ(=σR2sinθd
θd
φ)であるので、
d E= | σR2sinθd θd φ |
| (−Rsinθconφ,−Rsinθsinφ,H−Rcosθ) |
・・・(1) |
|
|
4πε0((H−Rcosθ)2+(Rsinθ)2) | ((H−Rcosθ)2+(Rsinθ)2)1/2 |
と表される。
E=∫d
Eであるから、電界のそれぞれの座標成分は、
| π | 2π | | π | 2π | |
Ex = | ∫ | ∫ | d Ex = | ∫ | ∫ |
−σR3sin2θcosφ |
d φd θ ・・・(2) |
|
4πε0(R2−2HRcosθ+H2)3/2 |
| θ=0 | φ=0 | | θ=0 | φ=0 | |
| π | 2π | | π | 2π | |
Ey = | ∫ | ∫ | d Ey = | ∫ | ∫ |
−σR3sin2θsinφ |
d φd θ ・・・(3) |
|
4πε0(R2−2HRcosθ+H2)3/2 |
| θ=0 | φ=0 | | θ=0 | φ=0 | |
| π | 2π | | π | 2π | |
Ez = | ∫ | ∫ | d Ez = | ∫ | ∫ |
σR2(H−Rcosθ)sinθ |
d φd θ ・・・(4) |
|
4πε0(R2−2HRcosθ+H2)3/2 |
| θ=0 | φ=0 | | θ=0 | φ=0 | |
積分範囲は、θ:0〜π,φ:0〜2πである。
Ex、Eyは、φについて積分すると0になるので、Ex=Ey=0である。
Ezは、φに対して定数であるので、容易に積分されて、
| π |
Ez = |
∫ |
σR2(H−Rcosθ)sinθ | d θ ・・・(4’) |
|
2ε0(R2−2HRcosθ+H2)3/2 |
| θ=0 |
この積分を行えば、
| σR2 |
( |
1 |
( |
H−R |
|
H+R |
) |
|
|H−R|−|H+R| |
) |
Ez= |
|
|
|
− |
|
− |
| ・・・(4”) |
| 2ε0 | HR | |H−R| | | |H+R| | | H2R |
H<Rのとき
| σR2 |
( | |
2 |
|
−2H |
) |
Ez= |
|
− |
|
− |
| = 0 〔N/C〕 ・・・(5) |
| 2ε0 | | HR | | H2R |
H>Rのとき
| σR2 |
( |
|
−2R |
) | | σR2 |
Ez= |
|
− |
| = |
| 〔N/C〕 ・・・(6) |
| 2ε0 | | H2R | | ε0H2 |
θ,φで与えられる点(Rsinθcosφ,Rsinθsinφ,Rcosθ)において中心軸に対して反対方向の点
(Rsinθcos(φ+π),Rsinθsin(φ+π),Rcosθ)の電荷による電界を考えると、
両者によって電界のxy成分は打ち消される。総ての平面上の点において、同様に打ち消されるので、電界のx成分,y成分は0となる。
(このような考察を行なえば、積分することなく電界のx成分,y成分は0となることが分かる)
電界は、球殻の中心から外に向かう(負の電荷なら内に向かう)方向になる。球殻内部では電界は0である。電界を図示する。
これでこの項目は終わり
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