点ｒに微小な⊿ｘ⊿ｙ⊿ｚなる大きさの直方体の閉曲面を考え、ガウスの定理を適用する。閉曲面上の点をｒ（＝（ｘ，ｙ，ｚ））とする。 （それぞれの面上で面に垂直方向の電界の成分が同じで、電荷密度ρ（ｒ）が直方体内で均一であると考えられるほどに、⊿ｘ⊿ｙ⊿ｚは十分小さいとする。）
閉曲面を直方体のそれぞれの面に分けて面積分を行なう。それぞれの面を、 Ｓをそれぞれの面に分解すれば、それぞれの面で電界との内積をとることになる。
⊿ｘ、⊿ｙ、⊿ｚは十分に小さくて、それぞれの面で電界の面の方向成分は一定であるとおいたので、面の中心で電界を表すことにして次のようになる。
| ∫ | ⊿ｙ | ⊿ｚ | ||
Ｅ・d Ｓ ＝ －Ｅｘ（ｘ，ｙ＋ | ，ｚ＋ | ）⊿ｙ⊿ｚ （電界は、面とは逆向き） ・・・（１） | ||
| ２ | ２ | |||
| Ｓｘ上 | ||||
| ∫ | ⊿ｙ | ⊿ｚ | ||
Ｅ・d Ｓ ＝ Ｅｘ（ｘ＋⊿ｘ，ｙ＋ | ，ｚ＋ | ）⊿ｙ⊿ｚ （電界は、面と同じ向き） ・・・（２） | ||
| ２ | ２ | |||
| Ｓｘ＋⊿ｘ上 | ||||
| ∫ | ⊿ｘ | ⊿ｚ | ||
Ｅ・d Ｓ ＝ －Ｅｙ（ｘ＋ | ，ｙ，ｚ＋ | ）⊿ｘ⊿ｚ （電界は、面とは逆向き） ・・・（３） | ||
| ２ | ２ | |||
| Ｓｙ上 | ||||
| ∫ | ⊿ｘ | ⊿ｚ | ||
Ｅ・d Ｓ ＝ Ｅｙ（ｘ＋ | ，ｙ＋⊿ｙ，ｚ＋ | ）⊿ｘ⊿ｚ （電界は、面と同じ向き） ・・・（４） | ||
| ２ | ２ | |||
| Ｓｙ＋⊿ｙ上 | ||||
| ∫ | ⊿ｘ | ⊿ｙ | ||
Ｅ・d Ｓ ＝ －Ｅｚ（ｘ＋ | ，ｙ＋ | ，ｚ）⊿ｘ⊿ｙ （電界は、面とは逆向き） ・・・（５） | ||
| ２ | ２ | |||
| Ｓｚ上 | ||||
| ∫ | ⊿ｘ | ⊿ｙ | ||
Ｅ・d Ｓ ＝ Ｅｚ（ｘ＋ | ，ｙ＋ | ，ｚ＋⊿ｚ）⊿ｘ⊿ｙ （電界は、面と同じ向き） ・・・（６） | ||
| ２ | ２ | |||
| Ｓｚ＋⊿ｚ上 | ||||
すべてたせば、ガウスの定理（微分表現）の左辺が得られる。式（１）と式（２）、式（３）と式（４）、式（５）と式（６）をそれぞれまとめて、
divＦの説明で行ったように、式（２）、（４）、（６）についてそれぞれ、ｘ、ｙ、ｚの各変数について一次までテーラー展開して各変数についてまとめて、
⊿ｘ、⊿ｙ、⊿ｚが十分小さいことを考えてｘ＋⊿ｘ／２→ｘ、ｙ＋⊿ｙ／２→ｙ、ｚ＋⊿ｚ／２→ｚとすれば、点（ｘ，ｙ，ｚ）において
| ∫ | （ | ∂Ｅｘ | ∂Ｅｙ | ∂Ｅｚ | ） | |||
Ｅ・d Ｓ ＝ | ＋ | ＋ | ⊿ｘ⊿ｙ⊿ｚ＝divＥ⊿ｘ⊿ｙ⊿ｚ ・・・（７） | |||||
| ∂ｘ | ∂ｙ | ∂ｚ |
ガウスの定理（微分表現）の右辺は、体積が’⊿ｘ⊿ｙ⊿ｚ’で、内部でρが一定であるので、
| １ | ∫ | ρ | |
ρd Ｖ ＝ | ⊿ｘ⊿ｙ⊿ｚ ・・・（８） | ||
| ε０ | ε０ |
ガウスの定理より、’式（７）の左辺’と’式（８）の左辺’は等しい。よって、’式（７）の右辺’＝’式（８）の右辺’である。両辺を’⊿ｘ⊿ｙ⊿ｚ’で割れば、
| ρ（ｒ） | |
| divＥ（ｒ）＝ | |
| ε０ |
| ρ（ｒ） | |
| ∇・Ｅ（ｒ）＝ | |
| ε０ |
これが、ガウスの定理の微分表現である。
ベクトルの'div'はそのベクトルの示す量の単位体積当たりの発散（わきだし）を表すので、ガウスの定理の微分表現の左辺は、電界で表される'何か'（電気力線）の単位体積当りのわきだしをあらわす。 ガウスの定理の微分表現の右辺は、ある点ｒでの単位体積当りの電荷密度を誘電率で割った量であるから、
ガウスの定理の微分表現は、ある点における単位体積当りの電気力線のわきだし（左辺：divＥ）は、その点の体積当りの電荷密度をε０で割った量になることを示す。
ガウスの定理は、微分表現も積分表現も意味する所は同じである。（電気力線と電荷との関係）ただ、場面によって都合の良い表現を用いれば良いだけである。