力（重力）⇔位置エネルギー　と　電界⇔電位

　さて、電界Ｅ（ｒ）があるとき点ｒにある点電荷ｑが受ける力Ｆ（ｒ）は、 Ｆ（ｒ）＝ｑＥ（ｒ）で与えられる。

この電荷ｑが、点ｒ_１からｒ_２へ移動したとき、電荷ｑが獲得するエネルギーＷ_１→２を求める。
　一般に、点ｒから微小量d ｒ移動した時に獲得するエネルギーd Ｗは、移動量と移動方向にどれだけの力を作用させるかの積（力と移動量の内積）で与えられる。 電荷ｑを移動するのに要する力は、電界からｑが受けている力Ｆとは逆方向の力であるので、（荷物を持ち上げる時、荷物には重力による力が下向きに働いているが、 上向きに同じ大きさの力をかけることによって荷物は持ち上がり位置エネルギーを獲得する。つまり、ｑに作用させるのは、ｑに働いている力（クーロン力）とは逆向きである。）

　d Ｗ＝−Ｆ（ｒ）・d ｒで与えられる。

　Ｆ・d ｒを成分であらわせば、 　d Ｗ＝−（Ｆ_ｘd ｘ＋Ｆ_ｙd ｙ＋Ｆ_ｚd ｚ）　である。

ここで、ｒ_１からｒ_２まで積分すれば、両辺ともにＷ_１→２を表す。

	Ｗ＝Ｗ（ｒ２）
左辺の積分＝	∫	d Ｗ　＝　Ｗ（ｒ２）−Ｗ（ｒ１）
	Ｗ＝Ｗ（ｒ１）

	ｒ＝ｒ２
右辺の積分＝	∫	−Ｆ（ｒ）・d ｒ
	ｒ＝ｒ１

　両辺の積分は等しいので、

ｒ＝ｒ２
∫	−Ｆ（ｒ）・d ｒ 　＝　Ｗ（ｒ２）−Ｗ（ｒ１）　　・・・（１）
ｒ＝ｒ１

　（１）式のように表されることは、（１）式の左辺の線積分が、経路によらず始点と終点のＷの値の差で表されることを意味する。
さて、前出の式　d Ｗ＝−Ｆ（ｒ）・d ｒ　の右辺でＦの成分が、何かの関数Ｕによって

	∂Ｕ		∂Ｕ		∂Ｕ
Ｆ＝（		，		，		）　・・・（２）
	∂ｘ		∂ｙ		∂ｚ

で、与えられるとすれば、

	∂Ｕ		∂Ｕ		∂Ｕ
d Ｗ　＝　−（		d ｘ＋		d ｙ＋		d ｚ）
	∂ｘ		∂ｙ		∂ｚ

とかける。この式の右辺は、関数Ｕの全微分の表現であるから

∂Ｕ		∂Ｕ		∂Ｕ
	d ｘ＋		d ｙ＋		d ｚ　＝　d Ｕ
∂ｘ		∂ｙ		∂ｚ

とおける。よってd Ｗ＝−d Ｕとなって、両辺を積分すれば、’Ｗ＝−Ｕ＋定数’とおけることがわかる。
ところで、ベクトル演算子gradによりＦとＷの関係を表せば、

	∂Ｕ		∂Ｕ		∂Ｕ
（		，		，		）　＝　gradＵ
	∂ｘ		∂ｙ		∂ｚ

であるから、（２）式より、Ｆ＝gradＵであるので、Ｆ＝gradＵ＝−gradＷと表される。
＃　この結果は、力が斜面の傾き（gradient：傾きのきつさと方向）で決まることを表す。実際に’物体に働く力Ｆと位置エネルギーＷ’の間には、　Ｆ＝−gradＷ　が成り立つ。）

さて、Ｆ＝ｑＥであるから、
　Ｅ＝Ｆ／ｑ＝−gradＷ／ｑ＝−grad（Ｗ／ｑ）
とかける。ここで、Ｗ／ｑを電位と呼び、ΦやＶなどとあらわす。

Ｅ＝−gradΦ（＝−∇Φ）

（１）式に対応させて積分すれば、

ｒ＝ｒ２
∫	Ｅ（ｒ）・d ｒ 　＝　−（Φ（ｒ２）−Φ（ｒ１））
ｒ＝ｒ１

となり、先に述べた力と同様に二点間の電位差は経路によらず一定になる。

電位の単位は、'Ｖ'(ボルト）である。電位の距離に対する変化率が電界であるから電界の単位は、'Ｖ/ｍ'とかける。（'Ｎ/Ｃ'よりよく使われる。）

（電位は、ある場所に電荷が来た時にその電荷がどれくらいの（位置）エネルギーを持つのかを与える。）

　電界は、電位が空間でどちらにどれぐらい変化（減少）しているかをあらわす。（斜面においた物体の位置エネルギーと力の関係に相当）

　’Φ：一定’の点の集合は、面（等電位面）を与えるが、gradΦと等電位面は垂直であることから、電界は等電位面と直交することが分かる。 電界は、ある点での等電位面の微小領域を平面とみなしたときの平面の法線ベクトルの方向をあらわす。

　　（電界と直交する方向に電荷を移動しても電荷の持つポテンシャルエネルギーは不変（移動した場所は、電位が等しい）。この場所の集合が、等電位面）

　電気力線は、すべての場所で等電位面に直交しているともいえる。

　図では、黒が二次元での等電位線（三次元では、等電位面）をあらわす。青が、電気力線（常に等電位面と直交、等電位面の間隔が小さいところ（電位勾配の大きいところ）では密度が高い）をあらわす。 赤が、電界（等電位面と直交、電気力線の接線方向。電気力線が密な所、等電位面の間隔が小さいところ（電位勾配の大きいところ）では大きい）をあらわす。

　電位に定数をたしても微分で与えられる電界は同じになるので、電位はどこかに基準を取らないと一意には定まらない。一般に電界が'０'になる無限遠方で電位が０になるように決められる。（絶対電位） 特にある場所の電位を基準（電位を０）としたい場合には、その場所を’接地する’（地表の電位を基準として電位を測るの意味）という。(地球は負に帯電しているので、地表の電位は負である。’接地する’と負の地表の絶対電位に対する電位を求めることになる。） 地表とは異なる場所の電位を基準とする場合には、'・・・・・に対する電位'、'・・・と・・・の電位差'、'・・・の電圧'といった言い方をする。 電位は、ほとんどの場合'差'しか問題とならないので、どこに基準をおいても良い。（都合のいい所に基準を取る）

電荷ｑを無限の遠方からｒまで移動したときのエネルギーの増加が、ｑΦになり、これが電荷分布により獲得したｑのポテンシャルエネルギーになる。

ｒ_１からｒ_２まで電荷ｑを移動したときに獲得するエネルギーＷは、 Ｗ＝ｑΦとして、Ｗ（ｒ_２）−Ｗ（ｒ_１）で、それぞれの点でのポテンシャルエネルギーの差で与えられる。 （上で述べた、力の線積分を参照）　よって、ｒ_１とｒ_２の電位差（ｒ_１を基準にしたｒ_２の電位）は Φ（ｒ_２）−Φ（ｒ_１）で与えられる。

これでこの項目は終わり

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