真空中に直線導体１(半径Ｒ1)と２（半径Ｒ2）が間隔ｄで平行に置かれている。以下の問いに答えよ。
(ただし､ｄ≫Ｒ1,Ｒ2とする)
①導体１に単位長さ当りλ(c)の電荷を与えたときの導体１、２の（間の）電位（差）を求めよ。
直線導体の中心からｒにおける電界の強さＥは、Ｅ＝λ/2πε0ｒ（線から外に向かう方向）であるから２を基準にした１の電位Ｖ21は、
Ｖ21＝－∫Ｅ*dｌ＝－∫λ/2πε0ｒdｒ（ｒ；ｄ－Ｒ2～Ｒ1）
＝λ/2πε0*ｌｏｇ（（ｄ－Ｒ2）/Ｒ1）≒λ/2πε0*ｌｏｇ（ｄ/Ｒ1）
②静電容量を求めよ。
導体２に－λの電荷を与えたときの電位Ｖ21は、①と同様に計算してλ/2πε0*ｌｏｇ（ｄ/Ｒ2）であるので、
Ｖ＝λ/2πε0*ｌｏｇ（ｄ2/Ｒ1Ｒ2）
よって、単位長さ当りの静電容量ＣLは、
ＣL＝λ/Ｖ＝2πε0/ｌｏｇ（ｄ2/Ｒ1Ｒ2）
③全体を比誘電率εrの媒質で満たした。静電容量はどうなるか。
電界が、１/εr倍になるので、②において電圧は１/εr倍になる。よって静電容量は、εr倍になる。
ＣL＝λ/Ｖ＝2πε0εr/ｌｏｇ（ｄ2/Ｒ1Ｒ2）
④直線導体１を誘電率ε厚さＴの膜で覆った時、静電容量を求めよ。（ｄ≫Ｒ1＋Ｔとする）
電束蜜度に成り立つ、電界のガウスの定理に類似した関係を利用すれば、導体１に単位長さ当りλの電荷を与えたときの電束密度Ｄ1＝λ/2πｒ（線から外に向かう方向）である。
よって、電界Ｅ1と電位Ｖ1は
Ｅ1＝λ/2πε0ｒ（ｒ；Ｔ＜ｒ）、λ/2πε（ｒ；Ｒ1＜Ｔ）
Ｖ1＝－∫Ｅ1dｒ＝－λ/2π*（∫１/ε0ｒ*dｒ（ｒ；ｄ－Ｒ2～Ｔ）＋∫１/ε*dｒ（ｒ；Ｔ～Ｒ1））
＝－λ/2π*（∫１/ε0ｒ*dｒ（ｒ；ｄ－Ｒ2～Ｒ1）＋∫（１/ε－１/ε0）ｒ*dｒ（ｒ；Ｔ～Ｒ1））
＝λ/2π*（１/ε0*ｌｏｇ（（ｄ－Ｒ2）/Ｒ1）＋（１/ε－１/ε0）*ｌｏｇ（Ｔ/Ｒ1））
≒λ/2π*（１/ε0*ｌｏｇ（ｄ/Ｒ1）＋（１/ε－１/ε0）*ｌｏｇ（Ｔ/Ｒ1））
導体２に－λの電荷を与えたときの電位Ｖ2は、同様に考えて、
Ｖ2＝－∫Ｅ2dｒ＝λ/2π*（∫１/ε0ｒ*dｒ（ｒ；ｄ－Ｒ1－Ｔ～Ｒ2）＋∫１/εｒ*dｒ（ｒ；ｄ－Ｒ1）～ｄ－Ｒ1－Ｔ）
≒λ/2π*（∫１/ε0ｒ*dｒ（ｒ；ｄ－Ｒ1－Ｔ～Ｒ2）＋∫１/εｒ*dｒ（ｒ；ｄ～ｄ））
＝λ/2π*（１/ε0*ｌｏｇ（（ｄ－Ｒ1－Ｔ）/Ｒ2）
≒λ/2π*（１/ε0*ｌｏｇ（ｄ/Ｒ2）
Ｖ＝Ｖ1＋Ｖ2＝λ/2πε0*ｌｏｇ（ｄ2/Ｒ1Ｒ2）＋λ/2π*（１/ε－１/ε0）*ｌｏｇ（Ｔ/Ｒ1））
単位長さ当りの静電容量ＣLは、
ＣL＝2πε0/（ｌｏｇ（ｄ2/Ｒ1Ｒ2）＋（ε0/ε－１）*ｌｏｇ（Ｔ/Ｒ1））
真空中に面積Ｓの平行な電極板が間隔ｄで置かれている。極板間に電圧Ｖを印加したとして以下の問いに答えよ。
①極板間に置いたＱ(c)の点電荷が受ける力を求めよ。
極板内の電界は、Ｖ/ｄで一様であるから、力は、ＱＶ/ｄ（Ｎ）
②極板に蓄積している電荷量を求めよ。
Ｖ/ｄの電界を極板内に与える平行平板の面電荷密度は、ε0Ｖ/ｄで与えられる。よって、電荷量は、ε0ＳＶ/ｄ
[別解]静電容量Ｃ＝ε0Ｓ/ｄであるから、電荷量は、ＣＶ＝ε0ＳＶ/ｄ
誘電率εの媒質中に半径ＲのＱ(c)の電荷をもつ導体球がある。以下の問いに答えよ。
①導体球の中心からｒの位置での電界、電束密度を求めよ。
均一な誘電体中であるから、電気力線、電束線は、導体球の中心から放射状に分布する。
電束蜜度に成り立つ、電界のガウスの定理に類似した関係を利用すれば、
Ｄ＝Ｑ/4πｒ2（導体球の中心から外に向かう方向）（ｒ；ｒ＞Ｒ）、Ｄ＝０（ｒ；ｒ＜Ｒ）
Ｅ＝Ｄ/ε＝Ｑ/4πεｒ2（導体球の中心から外に向かう方向）（ｒ；ｒ＞Ｒ）、Ｅ＝０（ｒ；ｒ＜Ｒ）
②導体球の電位を求めよ。
Ｖ＝－∫Ｅdｒ（ｒ；∞～ｒ）＝Ｑ/4πεｒ（ｒ；ｒ＞Ｒ）、Ｖ＝Ｑ/4πεＲ（ｒ；ｒ≦Ｒ）
③導体球の静電エネルギーを求めよ。
導体球表面まで、dＱなる電荷を無限遠から導体球表面まで移動したときのエネルギーの増分dＷは、導体球表面の電位をＶRとしてdＷ＝ＶRdＱで与えられる。
Ｗ＝∫dＷ＝∫ＶRdＱ（dＱ；０～Ｑ）＝∫Ｑ/4πεＲdＱ（dＱ；０～Ｑ）＝Ｑ2/8πεＲ
半径Ｒの導体球が厚さＴ比誘電率εrの媒質に包まれて真空中に置かれている。
導体球にＱ(c)の電荷を与えた時、球の中心からの距離をｒとして電界、電束密度、電位を求め、グラフ化せよ。
電束蜜度に成り立つ、電界のガウスの定理に類似した関係を利用すれば、距離ｒにおける電束蜜度Ｄは、
Ｄ＝Ｑ/4πｒ2 （ｒ＞Ｒ）、Ｄ＝０（ｒ＜Ｒ）
よって、電界Ｅは、
Ｅ＝０ （ｒ＜Ｒ）
Ｅ＝Ｑ/4πε0εrｒ2 （Ｒ＜ｒ＜Ｒ＋Ｔ）
Ｅ＝Ｑ/4πε0ｒ2 （Ｒ＋Ｔ＜ｒ）
電位φは、φ＝－∫Ｅdｒ（ｒ；∞～ｒ）であるから、
φ＝Ｑ/4πε0ｒ （Ｒ＋Ｔ＜ｒ）
φ＝Ｑ/4πε0（Ｒ＋Ｔ）－∫Ｑ/4πε0εrｒ2dｒ （ｒ；Ｒ＋Ｔ～ｒ） （Ｒ＜ｒ＜Ｒ＋Ｔ）
＝Ｑ/4πε0（Ｒ＋Ｔ）＋Ｑ/4πε0εrｒ－Ｑ/4πε0εr（Ｒ＋Ｔ） （Ｒ＜ｒ＜Ｒ＋Ｔ）
φ＝Ｑ/4πε0（Ｒ＋Ｔ）－Ｑ/4πε0εr（Ｒ＋Ｔ）＋Ｑ/4πε0εrＲ （ｒ＜Ｒ）
５．おまけ
①コンデンサに一定の電荷Ｑ（ｃ）を与えた時、静電エネルギーと誘電体の境界に発生する力を求める。
εr1、εr2の媒質の両端の電極は電位が等しい。よって、電界Ｅは両媒質内で等しい。
εr1の媒質内の電束蜜度Ｄ1は、ε0εr1Ｅとなる。
同様にεr2の媒質内の電束蜜度Ｄ2は、ε0εr2Ｅとなる。
電束蜜度は、電極の面電荷密度に等しいので、εr1の媒質の両端の電荷量Ｑ1は、ε0εr1ＥＬ1Ｔとなる。
同様に、εr2の媒質の両端の電荷量Ｑ2は、ε0εr2ＥＬ2Ｔとなる。
全電荷量は、Ｑ（ｃ）であるから、Ｑ＝Ｑ1＋Ｑ2
Ｑ＝ε0εr1ＥＬ1Ｔ＋ε0εr2ＥＬ2Ｔ
＝ε0Ｔ（εr1Ｌ1＋εr2Ｌ2）Ｅ
電圧ＶはＥｄより、
Ｖ＝Ｑｄ/ε0Ｔ（εr1Ｌ1＋εr2Ｌ2）
全エネルギーＷは、Ｗ＝ＱＶ/２で与えられる。
Ｗ＝Ｑ2ｄ/２ε0Ｔ（εr1Ｌ1＋εr2Ｌ2）
＝Ｑ2ｄ/２ε0Ｔ（εr1Ｌ1＋εr2（Ｌ－Ｌ1））
Ｆ＝－∂Ｗ/∂Ｌ1＝Ｑ2ｄ/２ε0Ｔ（εr1Ｌ1＋εr2Ｌ2）2*（εr1－εr2）
力の大きさは、Ｑ2ｄ/２ε0Ｔ（εr1Ｌ1＋εr2Ｌ2）2*（εr1－εr2）である。
εr1＞εr2の時、Ｌ1が長くなる方向へ働く。
単位面積当りの力ｆ（＝Ｆ/ｄＴ）を求めると
ｆ＝Ｑ2ｄ/２ε0Ｔ2ｄ（εr1Ｌ1＋εr2Ｌ2）2*（εr1－εr2）
＝ε0（εr1－εr2）Ｅ2/２（Ｅは媒質内の電界）
＝Ｄ1Ｅ/２－Ｄ2Ｅ/２（Ｅ（＝Ｅ1＝Ｅ2）は媒質内の電界、Ｄはそれぞれの媒質の電束蜜度）
＝Ｄ1Ｅ1/２－Ｄ2Ｅ2/２
電圧一定の時と比較して、力の大きさは同じで、向きが逆向きであることが分かる。
＃電荷量が一定であるから、エネルギーが減少するのは、電位が小さくなる時である。
誘電率が大きくなるほど電位は小さくなるので、誘電率の大きい領域が大きくなろうとする力が働く。
②コンデンサに一定の電圧Ｖ（Ｖ）を印加した時、静電エネルギーと誘電体の境界に発生する力を求める。
εr1、εr2の媒質の両端の電極は電位が等しい。よって、電界はＶ/ｄで両媒質内で等しい。
εr1の媒質内の電束蜜度Ｄ1は、ε0εr1Ｖ/ｄとなる。
電束蜜度は、電極の面電荷密度に等しいので、εr1の媒質の両端の電荷量Ｑ1は、ε0εr1Ｖ/ｄ*Ｌ1Ｔとなる。
εr2の媒質内の電束蜜度Ｄ2は、ε0εr2Ｖ/ｄとなる。
電束蜜度は、電極の面電荷密度に等しいので、εr2の媒質の両端の電荷量Ｑ2は、ε0εr2Ｖ/ｄ*Ｌ2Ｔとなる。
コンデンサでの全エネルギーＷは、Ｗ＝Ｑ1Ｖ/２＋Ｑ2Ｖ/２で与えられる。
Ｗ＝ε0εr1Ｖ2/２ｄ*Ｌ1Ｔ＋ε0εr2Ｖ2/２ｄ*Ｌ2Ｔ
＝ε0Ｖ2/２ｄ*Ｔ（εr1Ｌ1＋εr2Ｌ2）
＝ε0Ｖ2/２ｄ*Ｔ（εr1Ｌ1＋εr2（Ｌ－Ｌ1））
となる。このとき同時に、電荷量が⊿Ｑ〔Ｃ〕増加する。この電荷は、電圧Ｖ〔Ｖ〕の電源より供給されているので、電源で⊿ＱＶ〔Ｊ〕のエネルギーの減少が起こる。 全体として、増加したエネルギー⊿Ｗnetは、⊿Ｗnet＝∂Ｗ/∂Ｌ1・⊿Ｌ1－⊿ＱＶ
力ＦはＦ＝－∂Ｗnet/∂Ｌ1であるから、
Ｆ＝－∂Ｗnet/∂Ｌ1＝ε0Ｖ2/２ｄ*Ｔ（εr1Ｌ1＋εr2（Ｌ－Ｌ1））
＝ε0Ｖ2/２ｄ*Ｔ（εr1－εr2）
力の大きさは、ε0Ｖ2/２ｄ*Ｔ（εr1－εr2）である。
εr1＞εr2の時、Ｌ1が長くなる方向へ働く。
境界面の面積は、ｄＴであるから、単位面積当りの力ｆ（＝Ｆ/ｄＴ）は
ｆ＝ε0Ｖ2/２ｄ2*（εr1－εr2）
＝ε0（εr1－εr2）Ｅ2/２（Ｅは媒質内の電界）
＝Ｄ1Ｅ/２－Ｄ2Ｅ/２（Ｅ（＝Ｅ1＝Ｅ2）は媒質内の電界、Ｄはそれぞれの媒質の電束蜜度）
＝Ｄ1Ｅ1/２－Ｄ2Ｅ2/２