① 誘電体界面において、表面に孤立（真）電荷がなければ、界面に対して垂直方向成分では、誘電体内外で電束密度が不変である。一方界面に対して
平行な成分では、誘電体内外で電界が不変である。ゆえに、誘電体内部の電界の平面に垂直な成分をＥr⊥、平行な成分をＥr∥とすれば、
電束密度が不変より、ε0Ｅ⊥＝ε0εrＥr⊥
Ｅr⊥＝１／εr・Ｅ⊥
電界が不変より、 Ｅr∥＝Ｅ∥
Ⅰ 厚さ Ｔ（ｍ） の無限に広がる比誘電率εrの誘電体平面があり、この平面の外側に一様な電界Ｅを印加した。
この電界の平面に垂直な成分をＥ⊥、平行な成分をＥ∥として、以下の問いに答えよ。
① 誘電体内部の電界を平面に垂直な成分と平行な成分に分けて求めよ。
② ①を参考にして分極により誘電体表面に現れる電荷の面密度を求めよ。
③ 誘電体内部の電束密度を平面に垂直な成分と平行な成分に分けて求めよ。
④ 誘電体平面の片側に面密度σ（Ｃ／ｍ2）の真電荷（孤立した電荷）をもう一方の側に面密度－σ（Ｃ／ｍ2）の真電荷を与えた。
誘電体内部の電束密度を平面に垂直な成分と平行な成分に分けて求めよ。
解答例
① 誘電体界面において、表面に孤立（真）電荷がなければ、界面に対して垂直方向成分では、誘電体内外で電束密度が不変である。一方界面に対して
平行な成分では、誘電体内外で電界が不変である。ゆえに、誘電体内部の電界の平面に垂直な成分をＥr⊥、平行な成分をＥr∥とすれば、
電束密度が不変より、ε0Ｅ⊥＝ε0εrＥr⊥
Ｅr⊥＝１／εr・Ｅ⊥
電界が不変より、 Ｅr∥＝Ｅ∥
② 分極により誘起される表面電荷の面密度は、表面における分極密度Ｐに等しい。
Ｐ＝Ｄr⊥－ε0Ｅr⊥であるから、
Ｐ＝ε0（εr－１）Ｅr⊥
＝ε0（１－１／εr）Ｅ⊥
③ ①で求めた電界を参考にして、
Ｄ⊥＝ε0εrＥr⊥＝ε0Ｅ⊥
Ｄ∥＝ε0εrＥr∥＝ε0εrＥ∥
④ この表面電荷による電気力線は、平面に垂直な方向にのびるので電界及び電束密度は垂直成分だけが変化する。電界の垂直成分は、③での大きさに比べて
σ／ε0εrだけ増加する。
電束密度についても同様のことがいえて、電束密度の増加△Ｄ＝σであるので、
Ｄ'⊥＝σ＋Ｄ⊥＝σ＋ε0Ｅ⊥
Ｄ'∥＝Ｄ∥＝ε0εrＥ∥
解答例
② 誘電体が球殻状で、点電荷が球殻の中心に存在するので、誘電体界面において電界は垂直になっている。
電束も誘電体界面において界面に対して垂直であるから、電束密度が誘電体境界で不変である。よって、電束密度をガウスの定理によって求めれば、
点電荷からの距離ｒにおける電束密度Ｄは
Ｄ＝Ｑ／４πｒ2（点電荷から外に向かう方向）
① ②より、誘電体内部（Ｒ＜ｒ＜Ｒ＋Ｔ）で、
Ｅ＝Ｑ／４πε0εrｒ2
上以外の場所（ｒ＜Ｒ、Ｒ＋Ｔ＜ｒ）で、
Ｅ＝Ｑ／４πε0ｒ2
③ 点電荷からの距離ｒにおける電位φ（ｒ）は、
φ（ｒ）＝－∫Ｅ（ｒE）dｒE（ｒE；∞～ｒ）（Ｒ＋Ｔ＜ｒ）
φ（ｒ）＝－∫Ｅ（ｒE）dｒE（ｒE；Ｒ＋Ｔ～ｒ）＋φ（Ｒ＋Ｔ）（Ｒ＜ｒ＜Ｒ＋Ｔ）
φ（ｒ）＝－∫Ｅ（ｒE）dｒE（ｒE；Ｒ～ｒ）＋φ（Ｒ）（ｒ＜Ｒ）
Ｒ＋Ｔ＜ｒのとき、
φ（ｒ）＝－∫Ｅ（ｒE）dｒE（ｒE；∞～ｒ）＝Ｑ／４πε0ｒ
Ｒ＜ｒ＜Ｒ＋Ｔのとき、
φ（ｒ）＝－∫Ｅ（ｒE）dｒE（ｒE；Ｒ＋Ｔ～ｒ）＋φ（Ｒ＋Ｔ）
＝Ｑ／４πε0εrｒ－Ｑ／４πε0εr（Ｒ＋Ｔ）＋Ｑ／４πε0（Ｒ＋Ｔ）
＝Ｑ／４πε0・（１／εrｒ＋（１－１／εr）／（Ｒ＋Ｔ））
ｒ＜Ｒのとき、
φ（ｒ）＝－∫Ｅ（ｒE）dｒE（ｒE；Ｒ～ｒ）＋φ（Ｒ）
＝Ｑ／４πε0ｒ－Ｑ／４πε0Ｒ＋Ｑ／４πε0εrＲ－Ｑ／４πε0εr（Ｒ＋Ｔ）＋Ｑ／４πε0（Ｒ＋Ｔ）
＝Ｑ／４πε0・（１／ｒ－（１－１／εr）／Ｒ＋（１－１／εr）／（Ｒ＋Ｔ））
④ 分極密度Ｐは、Ｄ－ε0Ｅ（＝ε0（εr－１）Ｅ＝（１－１／εr）Ｄ）で与えられるので、
Ｄ＝Ｑ／４πｒ2（点電荷から外に向かう方向）を参考にして、
誘電体内部（Ｒ＜ｒ＜Ｒ＋Ｔ）で、
Ｐ＝Ｑ／４πｒ2・（１－１／εr）
上以外の場所（ｒ＜Ｒ、Ｒ＋Ｔ＜ｒ）で、
Ｐ＝０ （εr＝１より）
⑤ 分極により誘起される面電荷密度は、分極密度の差に等しいので、④を参考にして
内側表面においては、
σi＝－Ｑ／４πＲ2・（１－１／εr）
外側表面においては、
σo＝Ｑ／４π（Ｒ＋Ｔ）2・（１－１／εr）
⑥下に示す。
