I 厚さｔ１〔ｍ〕、比誘電率εｒ１の媒質１と厚さｔ２〔ｍ〕、比誘電率εｒ２の媒質２を重ねて、両側から面積Ｓ〔ｍ２〕の導体板１，２で挟んだ。以下の問いに答えよ。
① 導体板１にＱ〔Ｃ〕、導体板２に－Ｑ〔Ｃ〕（Ｑ＞０）の電荷を与えた。導体板間の電界と電束密度を求めよ。
電束・電界は、板に垂直な方向を向き、電束密度は媒質によらず一定である。電束密度についてガウスの定理を適用すれば、
| 導体板１の与える電束密度Ｄ１＝ | Ｑ ２Ｓ | 〔Ｃ／ｍ２〕 導体板から外に向かう方向 |
| 導体板２の与える電束密度Ｄ２＝ | Ｑ ２Ｓ | 〔Ｃ／ｍ２〕 導体板に向かう方向 |
| 導体板間：電束密度Ｄ＝ | Ｑ Ｓ | 〔Ｃ／ｍ２〕（導体板１から導体板２に向かう方向） |
| Ｅ＝ | Ｄ εｒε０ |
| 媒質１： 電界Ｅ１＝ | Ｑ εｒ１ε０Ｓ | 〔Ｖ／ｍ〕（導体板１から導体板２に向かう方向） |
| 媒質２： 電界Ｅ２＝ | Ｑ εｒ２ε０Ｓ | 〔Ｖ／ｍ〕（導体板１から導体板２に向かう方向） |
② 導体板１と導体板２の間の電位差を求めよ。
それぞれの媒質の電位差を足せばよい。
| 媒質１の電位差Ｖ１＝Ｅ１ｔ１＝ | Ｑｔ１ εｒ１ε０Ｓ | 〔Ｖ／ｍ〕 |
| 媒質２の電位差Ｖ２＝Ｅ２ｔ２＝ | Ｑｔ２ εｒ２ε０Ｓ | 〔Ｖ／ｍ〕 |
| 電位差Ｖ＝Ｅ１ｔ１＋Ｅ２ｔ２＝（ | ｔ１ εｒ１ε０Ｓ | ＋ | ｔ２ εｒ２ε０Ｓ | ）Ｑ〔Ｖ／ｍ〕 |
③ εｒ１＝２、εｒ２＝４、Ｓ＝１〔ｍ２〕、ｔ１＝０.１〔mm〕、ｔ２＝０.２〔mm〕のとき静電容量はいくらになるか。
| 静電容量Ｃ＝ | Ｑ Ｖ | ＝８８.５ｘ１０３ | 〔ｐＦ〕 |
④ ③の条件において、導体板間の電気力線を描け。
媒質１の電気力線の本数は、媒質２の電気力線の本数の倍で、導体板１から導体板２の方向へ垂直にのびる。
（図は省略）（作図では、電気力線の本数が比誘電率に反比例することに配慮する）
⑤ ③の条件において、導体板間の電束線を描け。
導体板１から導体板２まで一様に垂直にのびる。
（図は省略）
⑥ ③の条件において、媒質１と媒質２の境界に誘起される分極電荷を求めよ。
分極電荷の面密度は分極密度と等しい。媒質１と媒質２による分極電荷の面密度をそれぞれσ１、σ２とすれば、
| σ１＝Ｐ１＝Ｄ１－ε０Ｅ１＝（１－ | １ εｒ１ | ） | Ｑ Ｓ | 〔Ｃ／ｍ２〕 |
| σ２＝Ｐ２＝Ｄ２－ε０Ｅ２＝（１－ | １ εｒ２ | ） | Ｑ Ｓ | 〔Ｃ／ｍ２〕 |
| σ＝σ１－σ２＝（ | １ εｒ２ | － | １ εｒ１ | ） | Ｑ Ｓ | ＝－２．２ｘ１０－７〔Ｃ／ｍ２〕 |
⑦ ③の条件において、コンデンサと見立てて、導体板１と２の間に10Vの電圧を印加した。コンデンサに蓄えられるエネルギーを求めよ。
| エネルギー Ｗ＝ | ＣＶ２ ２ | ＝４．４ｘ１０－６ | 〔Ｊ〕 |
⑧ ⑦において、媒質１に蓄えられる単位体積当たりのエネルギーを求めよ。
| エネルギー密度 ｗ１＝ | Ｄ１Ｅ１ ２ | ＝２．２ｘ１０－２ | 〔Ｊ／ｍ３〕 |
II 比誘電率εｒの媒質中で、電荷が密度σ〔Ｃ／ｍ２〕で均一に半径ｄ〔ｍ〕の円筒状に分布している。以下の問に答えよ。
① 筒の中心軸からｒ〔ｍ〕の位置の電界と電束密度と分極密度を求めよ。
電界・電束が、円筒の中心軸に対して垂直の向きにあることを考慮して、高さＨ、半径ｒの円筒状の閉曲面でガウスの定理を用いる。
ｒ＜ｄの時
閉曲面内に電荷はないので、Ｄ＝０、故にＥ＝０、Ｐ＝０
ｒ＞ｄの時
閉曲面内の全電荷量＝２πｄＨσ〔Ｃ〕、 電束＝２πｒＨＤ〔Ｃ〕（円筒の中心軸に対して外向きを正の方向とした）
| Ｄ＝ | ２πｄＨσ ２πｒＨ | ＝ | ｄσ ｒ | 〔Ｃ／ｍ２〕 |
| Ｅ＝ | Ｄ εｒε０ | ＝ | ｄσ εｒε０ｒ | 〔Ｖ／ｍ〕 |
| Ｐ＝Ｄ－ε０Ｅ＝（εｒ－１）ε０Ｅ＝ | （１－ | １ εｒ | ） | ｄσ ｒ | 〔Ｃ／ｍ２〕 |
② 筒の中心軸からＲ〔ｍ〕の位置の電位を求めよ。ただし、電位の基準を円筒表面とする。
Ｒ＜ｄの時には、電界は０であるから電位は一定である。Ｒ＝ｄで電位φ＝０であるので、
Ｒ＜ｄ のとき φ＝０
ｄ＜Ｒのとき
| φ＝ | ∫ | Ｒ | ||
－Ｅd ｒ＝ | ｄσ ε０εｒ | log | ｄ Ｒ | 〔Ｖ〕 |
| ｄ |
③ εｒ＝２、σ＝１〔Ｃ／ｍ２〕、ｄ＝０.１〔ｍ〕とする。中心軸から１〔ｍ〕の位置に－２〔Ｃ〕の点電荷がある。点電荷の受ける力を求めよ。
電界の大きさは、５.６×１０９〔Ｖ／ｍ〕であるから、１１.２×１０９〔Ｎ〕の力が中心軸に向かって働く。
III 比誘電率３の媒質中の点
① 原点における電界と電位を求めよ。
それぞれの電荷は、原点に同じ電位を与える。（１，０，０）にある電荷が原点に及ぼす電位は、
| ９×１０９・１×１０－９ ３・１ | ＝３〔Ｖ〕 |
② 点（０，０，１）〔ｍ〕における電界と電位を求めよ。
③ ０.１〔Ｃ〕の点電荷を、ｙ軸上の正の無限の遠方から原点まで移動させた。この点電荷の得たポテンシャルエネルギーを求めよ。