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'01　05/07 レポートの解説
１．　点Ａ（ｘＡ，ｙＡ，ｚＡ）〔ｍ〕にＱＡ〔Ｃ〕、 点Ｂ（ｘＢ，ｙＢ，ｚＢ）〔ｍ〕にＱＢ〔Ｃ〕の点電荷がある。以下の問いに答えよ。
①　点Ｒ（ｘＲ，ｙＲ，ｚＲ）〔ｍ〕における電界を求めよ。
②　ＱＡ＝１〔Ｃ〕、ＱＢ＝０〔Ｃ〕、点Ａが原点にある。点Ｒが次の各点で与えられるとき、それぞれの点での電界を求め、電界をベクトルで表せ。
　　（１，０，０）、（０，１，０）、（２，０，０）、（１，１，０）、（０，２，０）〔ｍ〕
③　②で、点Ｒに２×１０－９〔Ｃ〕の電荷がある。それぞれの点Ｒにおける電荷に働く力を求めよ。
④　②で、点Ｒに－１×１０－９〔Ｃ〕の電荷がある。それぞれの点Ｒにおける電荷に働く力を求めよ。
⑤　ＱＡ＝１〔Ｃ〕、ＱＢ＝－１〔Ｃ〕、点Ａ（１，０，０）〔ｍ〕、点Ｂ（－１，０，０）〔ｍ〕とする。 点Ｒが次の各点で与えられるとき、それぞれの点での電界を求め、電界をベクトルで表せ。
　　　（１，０，０）、（０，１，０）、（２，０，０）、（１，１，０）、（０，２，０）〔ｍ〕
⑥　⑤で、点Ｒに２×１０－９〔Ｃ〕の電荷がある。それぞれの点Ｒにおける電荷に働く力を求めよ。
⑦　⑤で、点Ｒに－１×１０－９〔Ｃ〕の電荷がある。それぞれの点Ｒにおける電荷に働く力を求めよ。

　解答例

①　要点のコーナーで指摘したように、複数の点電荷による電界は、個々の点電荷による電界のベクトルの合成で与えられる。 点Ａの位置ベクトルをｒＡ，点Ｂの位置ベクトルをｒＢ，点Ｒの位置ベクトルをｒＲとおけば、

　Ｅ（ｒＲ）＝ＱＡ（ｒＲ－ｒＡ） ＋ＱＢ（ｒＲ－ｒＢ）
　〔Ｎ／Ｃ〕
４πε０｜ｒＲ－ｒＡ｜３４πε０｜ｒＲ－ｒＢ｜３

ベクトルに対応する座標を代入すれば、成分での表現になる。成分はそれぞれ、
　ｒＲ－ｒＡ＝（ｘＲ－ｘＡ，ｙＲ－ｙＡ，ｚＲ－ｚＡ）
　ｒＲ－ｒＢ＝（ｘＲ－ｘＢ，ｙＲ－ｙＢ，ｚＲ－ｚＢ）

②　上の結果において、ＱＡ＝１，ＱＢ＝０、（ｘＡ，ｙＡ，ｚＡ）＝（０，０，０）を代入すれば、点Ｒ（ｒＲ＝（ｘＲ，ｙＲ，ｚＲ））における電界Ｅ（ｒＲ）は、次のように表される。

　Ｅ（ｒＲ）＝１（ｘＲ，ｙＲ，ｚＲ）
　〔Ｎ／Ｃ〕
４πε０（ｘＲ２＋ｙＲ２＋ｚＲ２）3/2

この式のｒＲ（＝ｘＲ，ｙＲ，ｚＲ）に、それぞれの点の座標を代入する。

　Ｅ（１，０，０）＝１（１，０，０）
　〔Ｎ／Ｃ〕　（＝（９×１０９，０，０）　〔Ｎ／Ｃ〕）
４πε０

　Ｅ（０，１，０）＝１（０，１，０）
　〔Ｎ／Ｃ〕　（＝（０，９×１０９，０）　〔Ｎ／Ｃ〕）
４πε０
　Ｅ（２，０，０）＝１（１，０，０）
　〔Ｎ／Ｃ〕　（＝（２.２５×１０９，０，０）　〔Ｎ／Ｃ〕）
１６πε０

　Ｅ（１，１，０）＝１（２－１／２，２－１／２，０）
　〔Ｎ／Ｃ〕　（＝（３.１８×１０９，３.１８×１０９，０）　〔Ｎ／Ｃ〕）
８πε０

　Ｅ（０，２，０）＝１（０，１，０）
　〔Ｎ／Ｃ〕　（＝（０，２.２５×１０９，０）　〔Ｎ／Ｃ〕）
１６πε０

図示すると右図のようになる

③　②で得た電界に点Ｒにある電荷（２×１０－９〔Ｃ〕）をかければ、力が求まる。
　Ｆ（１，０，０）＝（１８，０，０）　〔Ｎ〕
　Ｆ（０，１，０）＝（０，１８，０）　〔Ｎ〕
　Ｆ（２，０，０）＝（４.５，０，０）　〔Ｎ〕
　Ｆ（１，１，０）＝（６.３６，６.３６，０）　〔Ｎ〕
　Ｆ（０，２，０）＝（０，４.５，０）　〔Ｎ〕

④　②で得た電界に点Ｒにある電荷（－１×１０－９〔Ｃ〕）をかければ、力が求まる。
　Ｆ（１，０，０）＝（－９，０，０）　〔Ｎ〕
　Ｆ（０，１，０）＝（０，－９，０）　〔Ｎ〕
　Ｆ（２，０，０）＝（－２.２５，０，０）　〔Ｎ〕
　Ｆ（１，１，０）＝（－３.１８，－３.１８，０）　〔Ｎ〕
　Ｆ（０，２，０）＝（０，－２.２５，０）　〔Ｎ〕

⑤　①の結果において、ＱＡ＝１，ＱＢ＝－１、（ｘＡ，ｙＡ，ｚＡ）＝（１，０，０）、 （ｘＢ，ｙＢ，ｚＢ）＝（－１，０，０）を代入すれば、 点Ｒ（ｒＲ＝（ｘＲ，ｙＲ，ｚＲ））における電界Ｅ（ｒＲ）は、次のように表される。

　Ｅ（ｒＲ）＝（ｘＲ－１，ｙＲ，ｚＲ） ＋－（ｘＲ＋１，ｙＲ，ｚＲ）
　〔Ｎ／Ｃ〕
４πε０（（ｘＲ－１）２＋ｙＲ２＋ｚＲ２）３／２４πε０（（ｘＲ＋１）２＋ｙＲ２＋ｚＲ２）３／２


各点を代入する

　（１，０，０）：

　（０，１，０）：
　　Ｅ（０，１，０）＝１（－２，０，０）
　〔Ｎ／Ｃ〕　（＝（－６.４×１０９，０，０）　〔Ｎ／Ｃ〕）
４πε０２３／２

　（２，０，０）：
　　Ｅ（２，０，０）＝１（２６，０，０）
　〔Ｎ／Ｃ〕　（＝（８.７×１０９，０，０）　〔Ｎ／Ｃ〕）
４πε０２７

　（１，１，０）：
　　Ｅ（１，１，０）＝１（－２／５３／２，１－５－３／２，０）
　〔Ｎ／Ｃ〕　（＝（２.５×１０９，８.２×１０９，０）　〔Ｎ／Ｃ〕）
４πε０

　（０，２，０）：
　　Ｅ（０，２，０）＝１（－２，０，０）
　〔Ｎ／Ｃ〕　（＝（－１.６×１０９，０，０）　〔Ｎ／Ｃ〕）
４πε０５３／２

図示すると右図のようになる（電界合成の例も併せて示す）

⑥　⑤で得た電界に、電荷２×１０－９〔Ｃ〕をかければ、力が得られる。
　　点（１，０，０）には、すでに電荷があり、電界が与えられない（発散する）ので、力は求められない。（同じ場所に複数の点電荷は存在できない。）
　　Ｆ（０，１，０）＝（－１２.８，０，０）　〔Ｎ〕
　　Ｆ（２，０，０）＝（１７.４，０，０）　〔Ｎ〕
　　Ｆ（１，１，０）＝（５.０，１６.４，０）　〔Ｎ〕
　　Ｆ（０，２，０）＝（－３.２，０，０）　〔Ｎ〕

⑦　⑤で得た電界に、電荷－１×１０－９〔Ｃ〕をかければ、力が得られる。
　　点（１，０，０）には、すでに電荷があり、電界が与えられない（発散する）ので、力は求められない。（同じ場所に複数の点電荷は存在できない。）
　　Ｆ（０，１，０）＝（６.４，０，０）　〔Ｎ〕
　　Ｆ（２，０，０）＝（－８.７，０，０）　〔Ｎ〕
　　Ｆ（１，１，０）＝（－２.５，－８.２，０）　〔Ｎ〕
　　Ｆ（０，２，０）＝（１.６，０，０）　〔Ｎ〕

２．（３，０，０）〔ｍ〕に－２〔Ｃ〕、（－３，０，０）〔ｍ〕に２〔Ｃ〕の点電荷がある。次の各点における電界を求め図で表せ。
　　（０，０，０），（０，±１，０），（±１，０，０），（０，±２，０），（±２，０，０），（±１，±１，０），（±２，±２，０）〔ｍ〕

　解答例
　　（０，０，０），（０，１，０），（１，０，０），（０，２，０），（２，０，０），（１，１，０），（２，２，０）の各点の電界を求める。
　　Ｅ（０，０，０）＝１（０.４４，０，０）
　〔Ｎ／Ｃ〕
４πε０

　　Ｅ（０，１，０）＝１（０.３８，０，０）
　〔Ｎ／Ｃ〕
４πε０

　　Ｅ（１，０，０）＝１（０.６３，０，０）
　〔Ｎ／Ｃ〕
４πε０

　　Ｅ（０，２，０）＝１（０.２６，０，０）
　〔Ｎ／Ｃ〕
４πε０

　　Ｅ（２，０，０）＝１（２.０８，０，０）
　〔Ｎ／Ｃ〕
４πε０

　　Ｅ（１，１，０）＝１（０.４７，－０.２１，０）
　〔Ｎ／Ｃ〕
４πε０

　　Ｅ（２，２，０）＝１（０.５０，－０.３８，０）
　〔Ｎ／Ｃ〕
４πε０


図示すると右図のようになる（電界合成の例も併せて示す）

これでこの項目は終わり

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