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2回目 レポートの解説
1. 点A(x,y,z〔m〕〔C〕、 点B(x,y,z〔m〕〔C〕の点電荷がある。以下の問いに答えよ。
@ 点R(x,y,z〔m〕における電界を求めよ。
A Q=1〔C〕、Q=0〔C〕、点Aが原点にある。点Rが次の各点で与えられるとき、それぞれの点での電界を求め、電界をベクトルで表せ。
  (1,0,0)、(0,1,0)、(2,0,0)、(1,1,0)、(0,2,0)〔m〕
B Aで、点Rに2×10−9〔C〕の電荷がある。それぞれの点Rにおける電荷に働く力を求めよ。
C Aで、点Rに−1×10−9〔C〕の電荷がある。それぞれの点Rにおける電荷に働く力を求めよ。
D Q=1〔C〕、Q=−1〔C〕、点A(1,0,0)〔m〕、点B(−1,0,0)〔m〕とする。 点Rが次の各点で与えられるとき、それぞれの点での電界を求め、電界をベクトルで表せ。
   (1,0,0)、(0,1,0)、(2,0,0)、(1,1,0)、(0,2,0)〔m〕
E Dで、点Rに2×10−9〔C〕の電荷がある。それぞれの点Rにおける電荷に働く力を求めよ。
F Dで、点Rに−1×10−9〔C〕の電荷がある。それぞれの点Rにおける電荷に働く力を求めよ。

 解答例

@ 要点のコーナーで指摘したように、複数の点電荷による電界は、個々の点電荷による電界のベクトルの合成で与えられる。 点Aの位置ベクトルを,点Bの位置ベクトルを,点Rの位置ベクトルをとおけば、

 )=


 〔N/C〕
4πε4πε

ベクトルに対応する座標を代入すれば、成分での表現になる。成分はそれぞれ、
 =(x−x,y−y,z−z
 =(x−x,y−y,z−z

A 上の結果において、=1,Q=0、(x,y,z)=(0,0,0)を代入すれば、点R(=(x,y,z))における電界は、次のように表される。

 )=(x,y,z

 〔N/C〕
4πε(x+y+z3/2

この式の(=x,y,z)に、それぞれの点の座標を代入する。

 (1,0,0)=(1,0,0)

 〔N/C〕 (=(9×10,0,0) 〔N/C〕)
4πε

 (0,1,0)=(0,1,0)

 〔N/C〕 (=(0,9×10,0) 〔N/C〕)
4πε
 (2,0,0)=(1,0,0)

 〔N/C〕 (=(2.25×10,0,0) 〔N/C〕)
16πε

 (1,1,0)=(2−1/2,2−1/2,0)

 〔N/C〕 (=(3.18×10,3.18×10,0) 〔N/C〕)
8πε

 (0,2,0)=(0,1,0)

 〔N/C〕 (=(0,2.25×10,0) 〔N/C〕)
16πε

図示すると右図のようになる

B Aで得た電界に点Rにある電荷(2×10−9〔C〕)をかければ、力が求まる。
 (1,0,0)=(18,0,0) 〔N〕
 (0,1,0)=(0,18,0) 〔N〕
 (2,0,0)=(4.5,0,0) 〔N〕
 (1,1,0)=(6.36,6.36,0) 〔N〕
 (0,2,0)=(0,4.5,0) 〔N〕

C Aで得た電界に点Rにある電荷(−1×10−9〔C〕)をかければ、力が求まる。
 (1,0,0)=(−9,0,0) 〔N〕
 (0,1,0)=(0,−9,0) 〔N〕
 (2,0,0)=(−2.25,0,0) 〔N〕
 (1,1,0)=(−3.18,−3.18,0) 〔N〕
 (0,2,0)=(0,−2.25,0) 〔N〕

D @の結果において、=1,Q=−1、(x,y,z)=(1,0,0)、 (x,y,z)=(−1,0,0)を代入すれば、 点R(=(x,y,z))における電界)は、次のように表される。

 )=(x−1,y,z −(x+1,y,z


 〔N/C〕
4πε((x−1)+y+z3/24πε((x+1)+y+z3/2


各点を代入する

参考:

 (0,1,0):
  (0,1,0)=(−2,0,0)

 〔N/C〕 (=(−6.4×10,0,0) 〔N/C〕)
4πε3/2

 (2,0,0):
  (2,0,0)=(8/9,0,0)

 〔N/C〕 (=(8×10,0,0) 〔N/C〕)
4πε

 (1,1,0):
  (1,1,0)=(−2/53/2,1−5−3/2,0)

 〔N/C〕 (=(−1.6×10,8.2×10,0) 〔N/C〕)
4πε

 (0,2,0):
  (0,2,0)=(−2,0,0)

 〔N/C〕 (=(−1.6×10,0,0) 〔N/C〕)
4πε3/2

図示すると右図のようになる(電界合成の例も併せて示す)

E Dで得た電界に、電荷2×10−9〔C〕をかければ、力が得られる。
  点(1,0,0)には、すでに電荷があり、電界が与えられない(発散する)ので、力は求められない。(同じ場所に複数の点電荷は存在できない。)
  (0,1,0)=(−12.8,0,0) 〔N〕
  (2,0,0)=(16.0,0,0) 〔N〕
  (1,1,0)=(−3.2,16.4,0) 〔N〕
  (0,2,0)=(−3.2,0,0) 〔N〕

F Dで得た電界に、電荷−1×10−9〔C〕をかければ、力が得られる。
  点(1,0,0)には、すでに電荷があり、電界が与えられない(発散する)ので、力は求められない。(同じ場所に複数の点電荷は存在できない。)
  (0,1,0)=(6.4,0,0) 〔N〕
  (2,0,0)=(−8,0,0) 〔N〕
  (1,1,0)=(1.6,−8.2,0) 〔N〕
  (0,2,0)=(1.6,0,0) 〔N〕


2.(3,0,0)〔m〕に−2〔C〕、(−3,0,0)〔m〕に2〔C〕の点電荷がある。次の各点における電界を求め図で表せ。
  (0,0,0),(0,±1,0),(±1,0,0),(0,±2,0),(±2,0,0),(±1,±1,0),(±2,±2,0)〔m〕

 解答例
  (0,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,2,0),(2,0,0),(1,1,0),(2,2,0)の各点の電界を求める。(残りの点は、省略する)
  (0,0,0)=0.44(1,0,0)

 〔N/C〕
4πε

  (0,1,0)=0.38(1,0,0)

 〔N/C〕
4πε

  (1,0,0)=0.63(1,0,0)

 〔N/C〕
4πε

  (0,2,0)=0.26(1,0,0)

 〔N/C〕
4πε

  (2,0,0)=2.08(1,0,0)

 〔N/C〕
4πε

  (1,1,0)=0.51(0.91,−0.41,0)

 〔N/C〕
4πε

  (2,2,0)=0.63(0.80,−0.61,0)

 〔N/C〕
4πε


図示すると右図のようになる(電界合成の例も併せて示す)


これでこの項目は終わり

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