@ 円筒導体2の外側表面を接地して、円柱導体1に単位長さ当たりλ〔C/m〕の電荷を与えた。
円筒導体2に分布する電荷を求めよ。
円筒導体2について−−−
導体では、電荷は表面に分布し、導体内部には電界は存在しない。円筒導体の内側表面のごく内側での電界が、λ/2πε0R2であることを考慮して、円筒導体の内側表面を挟んでガウスの定理を用いれば、円筒導体の内側表面には、−λ/2πR2〔C/m2〕の電荷が分布することが導かれる。円筒導体の外側表面は、接地されており、電位は'0'である。無限の遠方でも電位は'0'であるから、円筒導体の外側表面には電荷は分布しない。
A @において、円柱導体1の中心軸からの距離r〔m〕における電界の大きさを求めよ。
R1<r<R2 のとき E= | λ 2πε0r |
〔V/m〕 (電界は外向きを正とした) |
B @において、円柱導体1の中心軸からの距離R〔m〕における電位を求めよ。
電位φ= | R ∫ r=R2 | −Ed r |
= | λ 2πε0 |
log( | R2 R |
) 〔V〕 (R1<R<R2) |
= | λ 2πε0 |
log( | R2 R1 |
) 〔V〕 (R<R1) |
C Bにおいて、円柱導体1と円筒導体2の間の単位長さ当たりの静電容量を求めよ。
電位差φ0が | λ 2πε0 |
log(R2/R1)であるから単位長さあたりの静電容量CLは、 |
CL= | λ φ0 | = | 2πε0 log(R2/R1) | 〔F/m〕 |
D R1=2.2〔mm〕、R2=6〔mm〕、t=0.1〔mm〕とする。
単位長さ当たりの静電容量はいくらか。 ( ただし、loge(3/1.1)=1、ε0=8.854×10−12〔F/m〕として計算してもよい。)
II 真空中に距離d〔m〕を隔てて面積S〔m2〕の導体板1,2が平行にある。以下の問に答えよ。(面間隔に比べて面は十分に広いとする。)
@ 導体板1を接地して、導体板2に電圧V〔V〕を印加した。導体板間の電界を求めよ。
E= | V d | 〔V/m〕 |
B @で、導体板2に蓄えられる電荷を求めよ。
Q=ε0ES | = | ε0VS d | 〔C〕 |
A 静電容量を求めよ。
C= | Q V | = | ε0S d | 〔F〕 |
C @で、電気力線を描け。
III 点
@ 点
E(rR)= | QA(rR−rA) | + | QB(rR−rB) |
〔V/m〕 | |||
4πε0|rR−rA|3 | 4πε0|rR−rB|3 |
ベクトルに対応する座標を代入すれば、成分での表現になる。成分はそれぞれ、
rR−rA=(xR−xA,yR−yA,zR−zA)
rR−rB=(xR−xB,yR−yB,zR−zB)
点電荷の作る電位φは、それぞれの点電荷の作る電位を加えればよいので、
φ(rR)= | QA | + | QB |
〔V〕 | |||
4πε0|rR−rA| | 4πε0|rR−rB| |
A QA=1〔C〕、QB=0〔C〕、点Aが原点にある。点Rが次の各点で与えられるとき、それぞれの点での電位を求めよ。
B Aで、2×10−9〔C〕の電荷を無限遠から点Rに移動させた。それぞれの点Rについて電荷の得たエネルギーを求めよ。
C Aで、−1×10−9〔C〕の電荷を無限遠から点Rに移動させた。それぞれの点Rについて電荷の得たエネルギーを求めよ。
点 | 電位 | 2×10−9〔C〕の 電荷の得たエネルギー | −1×10−9〔C〕の 電荷の得たエネルギー |
(1,0,0) | 9×109〔V〕 | 18〔J〕 | −9〔J〕 |
(0,1,0) | 9×109〔V〕 | 18〔J〕 | −9〔J〕 |
(2,0,0) | 4.5×109〔V〕 | 9〔J〕 | −4.5〔J〕 |
(1,1,0) | 6.4×109〔V〕 | 12.7〔J〕 | −6.4〔J〕 |
(0,2,0) | 4.5×109〔V〕 | 9〔J〕 | −4.5〔J〕 |
点R | 点Aの電荷による電位〔V〕 | 点Bの電荷による電位〔V〕 | 点Rにおける電位〔V〕 | Eで与えた2×10−9〔C〕の電荷の得たエネルギー〔J〕 | Fで与えた、−1×10−9〔C〕の電荷の得たエネルギー〔J〕 |
6.4x109 | −6.4x109 | 0 | 0 | 0 | |
9x109 | −3x109 | 6x109 | 12 | −6 | |
9x109 | −4x109 | 5x109 | 10 | −5 | |
4x109 | −4x109 | 0 | 0 | 0 |
IV(3,0,0)〔m〕に−2〔C〕、(−3,0,0)〔m〕に2〔C〕の点電荷がある。次の各点における電位を求めよ。
点 | (3,0,0)〔m〕にある−2〔C〕の電荷による電位 | (−3,0,0)〔m〕にある2〔C〕の電荷による電位 | 全電荷による電位 |
(0,0,0) | −6×109〔V〕 | 6×109〔V〕 | 0〔V〕 |
(0,±1,0) | −5.7×109〔V〕 | 5.7×109〔V〕 | 0〔V〕 |
(0,±2,0) | −5.0×109〔V〕 | 5.0×109〔V〕 | 0〔V〕 |
(1,0,0) | −9.0×109〔V〕 | 4.5×109〔V〕 | −4.5×109〔V〕 |
(−1,0,0) | −4.5×109〔V〕 | 9.0×109〔V〕 | 4.5×109〔V〕 |
(2,0,0) | −18×109〔V〕 | 3.6×109〔V〕 | −14.4×109〔V〕 |
(−2,0,0) | −3.6×109〔V〕 | 18×109〔V〕 | 14.4×109〔V〕 |
(1,±1,0) | −8×109〔V〕 | 4.4×109〔V〕 | −3.6×109〔V〕 |
(−1,±1,0) | −4.4×109〔V〕 | 8×109〔V〕 | 3.6×109〔V〕 |
(2,±2,0) | −8×109〔V〕 | 3.34×109〔V〕 | −4.7×109〔V〕 |
(−2,±2,0) | −3.34×109〔V〕 | 8×109〔V〕 | 4.7×109〔V〕 |