電気磁気学II （２０００年度　前期　本試験）　解答のコーナー

�@　円筒導体１と円筒導体２にΙ〔Ａ〕の電流を互いに逆方向に流した。同軸の中心からの距離ｒ〔ｍ〕の位置での磁界を求めよ。
�A　�@において、同軸の中心からの距離ｒ〔ｍ〕の位置での単位体積当たりの磁気エネルギーを求めよ。
�B　�@において、円筒導体１と円筒導体２を一組の導体と見なしたときの単位長さ当たりのインダクタンスを求めよ。
�C　�Bにおいて、Ｒ_１＝１.１〔ｍｍ〕、Ｒ_２＝３〔ｍｍ〕のとき、インダクタンスはいくらか。 （真空の透磁率μ_０＝４π×１０^−７〔Ｈ／ｍ〕である。）

解答例

�@　磁界は、円筒導体の中心軸を中心とした円周の接線方向を向く。半径ｒ〔ｍ〕の円周に沿って、磁界を周回積分すれば、円周内の電流と等しい。磁界と周回積分の方向は常に平行であるから、円筒導体１の電流の方向に進む右ねじの回転方向の磁界をＨとすれば、
２πｒＨ＝０　（ｒ＜Ｒ_１）
２πｒＨ＝Ι　（Ｒ_１＜ｒ＜Ｒ_２）
２πｒＨ＝０　（ｒ＞Ｒ_２）（電流は、互いにうち消して'０'）

　Ｈ＝０　〔Ａ／ｍ〕　（ｒ＜Ｒ_１、ｒ＞Ｒ_２）
　Ｈ＝Ι／2πｒ　〔Ａ／ｍ〕（Ｒ_１＜ｒ＜Ｒ_２）

�A　磁界のない領域では、磁気エネルギーはないので、Ｒ_１＜ｒ＜Ｒ_２についてのみ考える。 Ｂ＝μ_０Ｈ〔Ｗｂ／ｍ^２〕であるから、単位体積あたりの磁気エネルギーｗ〔Ｊ／ｍ^３〕は、
　ｗ＝ＢＨ／２＝μ_０Ｈ^２／２＝μ_０Ι^２／８π^２ｒ^２〔Ｊ／ｍ^３〕

�B　単位長さあたりの磁気エネルギーＷ_Ｌ＝∫ｗ2πｒdｒ（ｒ；Ｒ_１〜Ｒ_２） ＝∫μ_０Ι^２／４πｒdｒ（ｒ；Ｒ_１〜Ｒ_２） ＝μ_０Ι^２／４π*ｌｏｇ（Ｒ_２／Ｒ_１）〔Ｊ／ｍ〕
　単位長さあたりのインダクタンスをＬ_Ｌ〔Ｈ〕とすれば、 Ｗ_Ｌ＝Ｌ_ＬΙ^２／２とも表される。 よって、Ｌ_Ｌ＝μ_０／２π*ｌｏｇ（Ｒ_２／Ｒ_１）〔Ｈ／ｍ〕

�C　�Bを参考にして、 Ｌ_Ｌ＝μ_０／２π〔Ｈ／ｍ〕＝２×１０^−７〔Ｈ／ｍ〕＝０．２〔μＨ／ｍ〕

II　空間的に一様な磁場Ｂ〔Ｗｂ／ｍ^２〕がｚ軸の正の方向にある。以下の問いに答えよ。 ただし、電子の電荷をｑ〔ｃ〕、質量をｍ〔Ｋｇ〕とする。
�@　ある瞬間に、速さυ〔ｍ／ｓ〕で、電子がｘ軸方向に運動していた。このとき、電子が磁場との相互作用により受ける力を求めよ。
�A　�@の力は、電子に円運動を引き起こす。円運動の半径と周期を求めよ。
�B　�Aにおいて、Ｂ＝１〔Ｗｂ／ｍ^２〕、υ＝１００〔Ｋｍ／ｓ〕、ｍ＝９.１×１０^−３１〔Ｋｇ〕、ｑ＝−１.６×１０^−１９〔ｃ〕とすると円運動の半径と周期はいくらになるか。

解答例

�@　力をＦとすれば、速度のベクトルをυ、磁場のベクトルをＢとして、Ｆ＝ｑυ×Ｂで与えられる。外積の方向は、ｙ軸の負の方向を向くので、ｙ軸の正の向きに、−ｑυＢ〔Ｎ〕の力を受ける。（電子の電荷は負であるから、ｙ軸の正の方向に｜ｑυＢ｜〔Ｎ〕の力を受ける。）

�A　円運動の半径をＲ〔ｍ〕とおけば、ｑυＢ＝ｍυ^２／Ｒであるので、Ｒ＝ｍυ／ｑＢ〔ｍ〕。 （ｑυＢ＜０（Ｒ＜０）の時、円運動に沿って右ねじを回したとき進む方向に磁場が向いている。ｑυＢ＞０（Ｒ＞０）の時、円運動と逆方向に右ねじを回したとき進む方向に磁場が向いている。
　周期をＴ〔ｓ〕とおけば、一回りするのに要する時間であるから、２πＲ＝υＴより、 Ｔ＝２πＲ／υ＝２πｍ／ｑＢ〔ｓ〕

�B　半径　Ｒ＝０．５７〔μｍ〕＝５．７×１０^−７〔ｍ〕
　　周期　Ｔ＝３６〔ｐｓ〕＝３．６×１０−１１〔ｓ〕

III　空間的に一様な磁場Ｂ〔Ｗｂ／ｍ^２〕がｚ軸の正の方向にある。右図のように、この磁場中に、コイルを辺に平行に二分する軸（ｘ軸とする）を回転軸とするＮ〔回巻〕の一辺がａ〔ｍ〕の正方形のコイルがある。コイルの端子Ａ→Ｂへとコイルをたどったとき右ねじの進む方向をコイルの方向とする。ｘ軸の正の方向から見て、磁場の方向からコイルの方向への反時計回りの角度を磁場とコイルのなす角とし、θ〔ｒａｄ〕で表す。以下の問いに答えよ。

�@　コイルにＡ→Ｂに向かってΙ〔Ａ〕の電流を流した。コイルと磁場のなす角をθ〔ｒａｄ〕として、コイルに働くトルクを求めよ。
�A　コイルを角速度ω〔ｒａｄ／ｓ〕で回転させた。コイルと磁場のなす角がθ〔ｒａｄ〕のとき、端子ＡＢに発生する電圧を求めよ。
�B　端子ＡＢにＲ〔Ω〕の抵抗を付けた。コイルに流れる電流と、コイルに働くトルクを求めよ。
�C　�Bのトルクは、コイルにどの様な作用をするか。
�D　�Cにおいて、コイルの角速度をω〔ｒａｄ／ｓ〕で一定になるように、外力を与える。外力がコイルに与える単位時間当たりのエネルギーと抵抗で消費される電力の関係を求めよ。

解答例

解答例

�@　ｘ軸に平行なコイルの辺の受ける力は、ｙ軸方向にΙａＢ〔Ｎ〕である。トルクとして作用するのはこの力の円周方向成分（ΙａＢｓｉｎθ）である。２つのｘ軸に平行なコイルの辺でトルクは発生し、どちらのトルクもθを減少させるように働く。回転軸からの距離がａ／２であることとＮ〔回巻〕であることを考慮して、コイルの受けるトルクＴ〔Ｎｍ〕は、θを増加させる方向に選べば、Ｔ＝−２*ａN／２*ΙａＢｓｉｎθ＝ −Ιａ^２ＢNｓｉｎθ〔Ｎｍ〕

�A　ｘ軸に平行なコイル内のｑ〔ｃ〕の荷電粒子は速さａ／２*ω〔ｍ／ｓ〕で磁場中を運動するので、ローレンツ力を受ける。速度の磁場に垂直な成分はａω／２*ｓｉｎθであるから、荷電粒子はｑａω／２*ｓｉｎθＢ〔Ｎ〕の力を受ける。力の方向は、Ａ→Ｂへと至る方向である。荷電粒子がＡ→Ｂへ移動したときに受けるエネルギーは一辺あたり、２ａｑａω／２*ｓｉｎθＢ〔Ｊ〕であるので、端子Ａを基準として、端子Ｂには、Ｎ〔回巻〕であることを考慮して、ａ^２ωＢNｓｉｎθ〔Ｖ〕の電圧が発生する。

�B　コイルの電流は、ａ^２ωＢNｓｉｎθ／Ｒ〔Ａ〕となる。トルクは、�@を参考にして、−ａ^４ωＢ^２N^２ｓｉｎ^２θ／Ｒ〔Ｎｍ〕

�C　θを減少させる、すなわち、回転速度ωを減少させようとする。

�D　外力がコイルに与える単位時間あたりのエネルギーＰ〔Ｗ〕は、 Ｐ＝ａ^４ωＢ^２N^２ｓｉｎ^２θ／Ｒ*ω＝（ａ^２ωＢNｓｉｎθ）^２／Ｒ〔Ｗ〕
２乗のかっこ内の量は、コイル両端の電圧であるから、この式で与えられる単位時間あたりのエネルギーは、抵抗で消費される電力と一致している。 （コイルの回転を維持するために外力がコイルに与えたエネルギーは抵抗で消費されるエネルギーと等しい。）

これ以降はありません

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