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電気磁気学II (2000年度 前期 追(再)試験) 解答のコーナー
I 真空中に充分長い外半径R1〔m〕の円筒導体1と内半径R2〔m〕の円筒導体2が同軸状に配置されている。
それぞれの円筒の厚さは充分に薄いとする。以下の問いに答えよ。(R1<R2とする。)
@ 円筒導体1と円筒導体2にΙ〔A〕の電流を互いに逆方向に流した。同軸の中心からの距離r〔m〕の位置での磁界を求めよ。
A @において、同軸の中心からの距離r〔m〕の位置での単位体積当たりの磁気エネルギーを求めよ。
B @において、円筒導体1と円筒導体2を一組の導体と見なしたときの単位長さ当たりのインダクタンスを求めよ。
C Bにおいて、R1=1.1〔mm〕、R2=3〔mm〕のとき、インダクタンスはいくらか。
(真空の透磁率μ0=4π×10−7〔H/m〕である。)
解答例
@ 磁界は、円筒導体の中心軸を中心とした円周の接線方向を向く。半径r〔m〕の円周に沿って、磁界を周回積分すれば、円周内の電流と等しい。磁界と周回積分の方向は常に平行であるから、円筒導体1の電流の方向に進む右ねじの回転方向の磁界をHとすれば、
2πrH=0 (r<R1)
2πrH=Ι (R1<r<R2)
2πrH=0 (r>R2)(電流は、互いにうち消して'0')
H=0 〔A/m〕 (r<R1、r>R2)
H=Ι/2πr 〔A/m〕(R1<r<R2)
A 磁界のない領域では、磁気エネルギーはないので、R1<r<R2についてのみ考える。
B=μ0H〔Wb/m2〕であるから、単位体積あたりの磁気エネルギーw〔J/m3〕は、
w=BH/2=μ0H2/2=μ0Ι2/8π2r2〔J/m3〕
B 単位長さあたりの磁気エネルギーWL=∫w2πrdr(r;R1〜R2)
=∫μ0Ι2/4πrdr(r;R1〜R2)
=μ0Ι2/4π*log(R2/R1)〔J/m〕
単位長さあたりのインダクタンスをLL〔H〕とすれば、
WL=LLΙ2/2とも表される。
よって、LL=μ0/2π*log(R2/R1)〔H/m〕
C Bを参考にして、
LL=μ0/2π〔H/m〕=2×10−7〔H/m〕=0.2〔μH/m〕
II 右図のような矩形の比透磁率μrの鉄心にN1回巻きのコイル1とN2回巻きのコイル2がある。以下の問いに答えよ。
@ 右図の鉄心の磁気抵抗を求めよ。
A コイル1のA→BにΙ1〔A〕の電流を流した。鉄心内の磁束を求めよ。
B コイル1の電流が凾舶b間に刄ァ1〔A〕変化した。コイル1、コイル2のそれぞれに誘起される電圧を求めよ。
C Bにおいて、コイル2の端子CDにR〔Ω〕の抵抗を付けた。コイル2に流れる電流Ι2〔A〕を求めよ。
D Cにおいて、コイル2に流れる電流Ι2〔A〕によってコイル1に誘起される電圧を求めよ。
解答例
@ 磁気抵抗Rm〔AT/Wb〕は、磁路長が2(a+b)〔m〕、断面積がS〔m2〕、透磁率がμ0μrであるから、
Rm=2(a+b)/μ0μrS〔AT/Wb〕
A コイル1は、N1回巻きであるから、Ι1〔A〕の電流の作る磁束Φ1〔Wb〕は、@で求めた磁気抵抗を用いて、
Φ1=Ι1N1/Rm〔Wb〕 図で、右回りの磁束が発生する。
B コイル一回巻き当たり、刄ウ1/凾(=(N1/Rm)刄ァ1/凾煤j〔V〕の電圧が、磁束の時間変化を妨げる電流を流すように発生するので、それぞれ、次の電圧が発生する。
コイル1 : 端子Bを基準として、N12/Rm)刄ァ1/凾〔V〕
コイル2 : 端子Dを基準として、N2N1/Rm)刄ァ1/凾〔V〕
C 電圧が、(N2N1/Rm)刄ァ1/凾〔V〕であるから、電流Ι2〔A〕は、
Ι2=(N2N1/RRm)刄ァ1/凾〔A〕 外部回路(R〔Ω〕の抵抗)をC→Dに向かって流れる。
D A、Bを参考にする。電流Ι2により生じる磁束は、Φ2=Ι2N2/Rm〔Wb〕であるから、コイル1に発生する電圧V1は、
V1=N1刄ウ2/凾=(N1N2/Rm)刄ァ2/凾=(N1N2/Rm)2/R*2Ι1/凾2
で与えられる。
端子Bを基準として、 (N1N2/Rm)2/R*2Ι1/凾2〔V〕の電圧が発生する。(2Ι1/凾2は、電流Ι1の時間に関する2階微分に相当する。)
III 空間的に一様な磁場B〔Wb/m2〕がz軸の正の方向にある。右図のように、この磁場中に、コイルを辺に平行に二分する軸(x軸とする)を回転軸とするN〔回巻〕の一辺がa〔m〕の正方形のコイルがある。コイルの端子A→Bへとコイルをたどったとき右ねじの進む方向をコイルの方向とする。x軸の正の方向から見て、磁場の方向からコイルの方向への反時計回りの角度を磁場とコイルのなす角とし、θ〔rad〕で表す。以下の問いに答えよ。
@ コイルにA→Bに向かってΙ〔A〕の電流を流した。コイルと磁場のなす角をθ〔rad〕として、コイルに働くトルクを求めよ。
A コイルを角速度ω〔rad/s〕で回転させた。コイルと磁場のなす角がθ〔rad〕のとき、端子ABに発生する電圧を求めよ。
B 端子ABにR〔Ω〕の抵抗を付けた。コイルに流れる電流と、コイルに働くトルクを求めよ。
C Bのトルクは、コイルにどの様な作用をするか。
D Cにおいて、コイルの角速度をω〔rad/s〕で一定になるように、外力を与える。外力がコイルに与える単位時間当たりのエネルギーと抵抗で消費される電力の関係を求めよ。
解答例
@ x軸に平行なコイルの辺の受ける力は、y軸方向にΙaB〔N〕である。トルクとして作用するのはこの力の円周方向成分(ΙaBsinθ)である。2つのx軸に平行なコイルの辺でトルクは発生し、どちらのトルクもθを減少させるように働く。回転軸からの距離がa/2であることとN〔回巻〕であることを考慮して、コイルの受けるトルクT〔Nm〕は、θを増加させる方向に選べば、T=−2*aN/2*ΙaBsinθ=
−Ιa2BNsinθ〔Nm〕
A x軸に平行なコイル内のq〔c〕の荷電粒子は速さa/2*ω〔m/s〕で磁場中を運動するので、ローレンツ力を受ける。速度の磁場に垂直な成分はaω/2*sinθであるから、荷電粒子はqaω/2*sinθB〔N〕の力を受ける。力の方向は、A→Bへと至る方向である。荷電粒子がA→Bへ移動したときに受けるエネルギーは一辺あたり、2aqaω/2*sinθB〔J〕であるので、端子Aを基準として、端子Bには、N〔回巻〕であることを考慮して、a2ωBNsinθ〔V〕の電圧が発生する。
B コイルの電流は、a2ωBNsinθ/R〔A〕となる。トルクは、@を参考にして、−a4ωB2N2sin2θ/R〔Nm〕
C θを減少させる、すなわち、回転速度ωを減少させようとする。
D 外力がコイルに与える単位時間あたりのエネルギーP〔W〕は、
P=a4ωB2N2sin2θ/R*ω=(a2ωBNsinθ)2/R〔W〕
2乗のかっこ内の量は、コイル両端の電圧であるから、この式で与えられる単位時間あたりのエネルギーは、抵抗で消費される電力と一致している。
(コイルの回転を維持するために外力がコイルに与えたエネルギーは抵抗で消費されるエネルギーと等しい。)
これ以降はありません
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