電気磁気学II （２００１年度　前期　本試験）　解答のコーナー

�@　円筒導体１と円筒導体２にΙ〔Ａ〕の電流を互いに逆方向に流した。同軸の中心からの距離ｒ〔ｍ〕の位置での磁界を求めよ。
�A　�@において、同軸の中心からの距離ｒ〔ｍ〕の位置での単位体積当たりの磁気エネルギーを求めよ。
�B　�@において、円筒導体１と円筒導体２を一組の導体と見なしたときの単位長さ当たりのインダクタンスを求めよ。
�C　�Bにおいて、Ｒ_１＝１.１〔ｍｍ〕、Ｒ_２＝３〔ｍｍ〕のとき、インダクタンスはいくらか。 （真空の透磁率μ_０＝４π×１０^−７〔Ｈ／ｍ〕である。）

解答例

�@　磁界は、円筒導体の中心軸を中心とした円周の接線方向を向く。半径ｒ〔ｍ〕の円周に沿って、磁界を周回積分すれば、円周内の電流と等しい。磁界と周回積分の方向は常に平行であるから、円筒導体１の電流の方向に進む右ねじの回転方向の磁界の大きさをＨとすれば、

２πｒＨ＝０　（ｒ＜Ｒ_１）
２πｒＨ＝Ι　（Ｒ_１＜ｒ＜Ｒ_２）
２πｒＨ＝０　（ｒ＞Ｒ_２）（電流は、互いにうち消して'０'）

　Ｈ＝０　〔Ａ／ｍ〕　（ｒ＜Ｒ_１、ｒ＞Ｒ_２）

Ｈ＝

�T ２πｒ

〔Ａ／ｍ〕（Ｒ１＜ｒ＜Ｒ２）

�A　磁界のない領域では、磁気エネルギーはないので、Ｒ_１＜ｒ＜Ｒ_２についてのみ考える。 Ｂ＝μ_０Ｈ〔Ｗｂ／ｍ^２〕であるから、単位体積あたりの磁気エネルギーｗ〔Ｊ／ｍ^３〕は、

ｗ＝

１ ２

ＢＨ

＝

１ ２

μ０Ｈ２

＝

μ０Ι２ ８π２ｒ２

〔Ｊ／ｍ３〕

�B　単位長さあたりの磁気エネルギーＷ_Ｌは、半径方向に面積分すれば得られる。

	∫	Ｒ２
ＷＬ＝				ｗ２πｒd ｒ
		Ｒ１

	∫	Ｒ２
ＷＬ＝				μ０Ι２ ４πｒ	d ｒ　＝	μ０Ι２ ４π	log（	Ｒ２ Ｒ１	）　〔Ｈ／ｍ〕
		Ｒ１

　単位長さあたりのインダクタンスをＬ_Ｌ〔Ｈ〕とすれば、Ｗ_Ｌ＝Ｌ_ＬΙ^２／２とも表される。 よって、

ＬＬ＝

μ０ ２π

log（

Ｒ２ Ｒ１

）　〔Ｈ／ｍ〕

�C　�Bを参考にして、 Ｌ_Ｌ＝μ_０／２π〔Ｈ／ｍ〕＝２×１０^−７〔Ｈ／ｍ〕＝０．２〔μＨ／ｍ〕

II　磁気抵抗がＲ_Ｂ〔ＡＴ／Ｗｂ〕の鉄心にＮ_１回巻きのコイル１とＮ_２回巻きのコイル２が巻いてある。以下の問いに答えよ。
�@　コイル１にｉ（ｔ）〔Ａ〕の電流を流した。コイル１とコイル２に発生する電圧を求めよ。
�A　コイル１にｅ（ｔ）〔Ｖ〕の電圧を印加した。コイル１に流れる電流とコイル２に発生する電圧を求めよ。
�B　�Aで、コイル２の端子にＲ〔Ω〕の抵抗を付けた。コイル２に流れる電流を求めよ。
�C　�Bで、コイル１に流れる電流を求めよ。

解答例

�@　磁束Φ（ｔ）を用いて、コイル１巻き当たりに発生する電圧は、磁束の方向に対して、左巻きの方向に電圧の正の方向を選べば、

d Φ d ｔ

であるから、コイル１に発生する電圧υ_１とコイル２に発生する電圧υ_２は、それぞれ

υ１＝　Ｎ１

d Φ d ｔ

〔Ｖ〕，　υ２＝　Ｎ２

d Φ d ｔ

〔Ｖ〕

磁束Φ（ｔ）は、コイルの巻数と、磁気抵抗を用いて、

Φ（ｔ）＝

１ ＲＢ

Ｎ１ｉ（ｔ）

で与えられるので、電圧を電流で表せば、

υ１＝

Ｎ１２ ＲＢ

d ｉ d ｔ

〔Ｖ〕，　υ２＝

Ｎ１Ｎ２ ＲＢ

d ｉ d ｔ

〔Ｖ〕

�A　υ_１（ｔ）＝ｅ（ｔ）であるから、�@より、ｉを求めれば、（ｅを積分して）

ｉ（ｔ）　＝　∫

ＲＢ Ｎ１２

ｅ（ｔ）d ｔ

〔Ａ〕

この電流（励磁電流）が、磁束を与えるので�@と同様に考えればよい。υ_２は、ｉを消去して、

υ２＝

Ｎ２ Ｎ１

ｅ（ｔ）　〔Ｖ〕

�B　コイルには、電圧υ_２が、発生しているので、抵抗Ｒには、υ_２が印加される。よって、抵抗に流れる電流ｉ_２は、

ｉ２＝

υ２ Ｒ

＝

Ｎ２ ＲＮ１

ｅ（ｔ）　〔Ａ〕

�C　コイル２に流れる電流は、鉄心の時速の変化を引き起こす。この変化を妨げる（補償する）ようにコイル１に電流ｉ’が流れる。 磁束の変化は、Ｎ_２ｉ_２であるから、Ｎ_１ｉ’＝Ｎ_２ｉ_２

ｉ’＝

Ｎ２ Ｎ１

ｉ２

�Aで求めた電流は、コイル２につける負荷に関係なく流れるので、コイル１に流れる電流ｉ_１は、ｉ’とｉの和になる。

ｉ１　＝　ｉ＋ｉ’　＝∫

ＲＢ Ｎ１２

ｅ（ｔ）d ｔ　＋

１ Ｒ

Ｎ２２ Ｎ１２

ｅ（ｔ）　〔Ａ〕

III　空間的に一様な磁場Ｂ〔Ｗｂ／ｍ^２〕がｚ軸の正の方向にある。右図のように、この磁場中に、コイルを辺に平行に二分する軸（ｘ軸とする）を回転軸とするＮ〔回巻〕の一辺がａ〔ｍ〕の正方形のコイルがある。コイルの端子Ａ→Ｂへとコイルをたどったとき右ねじの進む方向をコイルの方向とする。ｘ軸の正の方向から見て、磁場の方向からコイルの方向への反時計回りの角度を磁場とコイルのなす角とし、θ〔ｒａｄ〕で表す。以下の問いに答えよ。

�@　コイルにＡ→Ｂに向かってΙ〔Ａ〕の電流を流した。コイルと磁場のなす角をθ〔ｒａｄ〕として、コイルに働くトルクを求めよ。
�A　コイルを角速度ω〔ｒａｄ／ｓ〕で回転させた。コイルと磁場のなす角がθ〔ｒａｄ〕のとき、端子ＡＢに発生する電圧を求めよ。
�B　端子ＡＢにＲ〔Ω〕の抵抗を付けた。コイルに流れる電流と、コイルに働くトルクを求めよ。
�C　�Bのトルクは、コイルにどの様な作用をするか。
�D　�Cにおいて、コイルの角速度をω〔ｒａｄ／ｓ〕で一定になるように、外力を与える。外力がコイルに与える単位時間当たりのエネルギーと抵抗で消費される電力の関係を求めよ。

解答例

�@　ｘ軸に平行なコイルの辺の受ける力は、ｙ軸方向にΙａＢ〔Ｎ〕である。トルクとして作用するのはこの力の円周方向成分（ΙａＢｓｉｎθ）である。２つのｘ軸に平行なコイルの辺でトルクは発生し、どちらのトルクもθを減少させるように働く。回転軸からの距離がａ／２であることとＮ〔回巻〕であることを考慮して、コイルの受けるトルクＴ〔Ｎｍ〕は、θを増加させる方向に選べば、Ｔ＝−２*ａN／２*ΙａＢｓｉｎθ＝ −Ιａ^２ＢNｓｉｎθ〔Ｎｍ〕

�A　ｘ軸に平行なコイル内のｑ〔ｃ〕の荷電粒子は速さａ／２*ω〔ｍ／ｓ〕で磁場中を運動するので、ローレンツ力を受ける。速度の磁場に垂直な成分はａω／２*ｓｉｎθであるから、荷電粒子はｑａω／２*ｓｉｎθＢ〔Ｎ〕の力を受ける。力の方向は、Ａ→Ｂへと至る方向である。荷電粒子がＡ→Ｂへ移動したときに受けるエネルギーは一辺あたり、２ａｑａω／２*ｓｉｎθＢ〔Ｊ〕であるので、端子Ａを基準として、端子Ｂには、Ｎ〔回巻〕であることを考慮して、ａ^２ωＢNｓｉｎθ〔Ｖ〕の電圧が発生する。

�B　コイルの電流は、ａ^２ωＢNｓｉｎθ／Ｒ〔Ａ〕となる。トルクは、�@を参考にして、−ａ^４ωＢ^２N^２ｓｉｎ^２θ／Ｒ〔Ｎｍ〕

�C　θを減少させる、すなわち、回転速度ωを減少させようとする。

�D　外力がコイルに与える単位時間あたりのエネルギーＰ〔Ｗ〕は、 Ｐ＝ａ^４ωＢ^２N^２ｓｉｎ^２θ／Ｒ*ω＝（ａ^２ωＢNｓｉｎθ）^２／Ｒ〔Ｗ〕
２乗のかっこ内の量は、コイル両端の電圧であるから、この式で与えられる単位時間あたりのエネルギーは、抵抗で消費される電力と一致している。 （コイルの回転を維持するために外力がコイルに与えたエネルギーは抵抗で消費されるエネルギーと等しい。）

これ以降はありません

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