I　Ｈ（＝（０，０，Ｈ））〔Ａ／ｍ〕なる一様な磁界中に、磁気モーメントＰ_m（＝（Ｐ_m，０，０））〔Ｗｂｍ〕で 長さＬ〔ｍ〕の太さを無視できる棒磁石がある。以下の問いに答えよ。
　　１．棒磁石のＮ極およびＳ極に誘起している磁荷を求めよ。
　　２．棒磁石のＮ極およびＳ極に働く力を求めよ。
　　３．棒磁石に働くトルクを求めよ。
　　４．棒磁石をＰ_m（＝０，０，Ｐ_m）〔Ｗｂｍ〕まで回転させた。棒磁石のエネルギーの増加分を求めよ。
　　５．Ｈ＝１００〔Ａ／ｍ〕，Ｐ_m＝０．０１〔Ｗｂｍ〕，Ｌ＝４〔ｃｍ〕のとき、磁石に働く力とトルクを求めよ。

解答例

１．誘起している磁荷をＭ〔Wb〕とすれば、Ｐ_m＝ＭＬであるから磁荷Ｍは　Ｐ_m／Ｌ〔Wb〕となる。
ただし、磁荷が正の側がＮ極であるから、Ｎ極：|Ｐ_m|／Ｌ〔Wb〕、Ｓ極：−|Ｐ_m|／Ｌ〔Wb〕とかける。

２．磁荷に働く力Ｆは、Ｆ＝ＭＨであるから、
Ｎ極では、Ｆ＝|Ｐ_m|／Ｌ*Ｈ〔Ｎ〕、Ｓ極では、Ｆ＝−|Ｐ_m|／Ｌ*Ｈ〔Ｎ〕なる力が働く。
力Ｆを成分で表せば、Ｎ極：（０，０，|Ｐ_m|／Ｌ*Ｈ）〔Ｎ〕、 Ｓ極：（０，０，−|Ｐ_m|／Ｌ*Ｈ）〔Ｎ〕

３．２で求めた力は、Ｙ軸を回転軸とした回転運動を起こそうとする。磁石の中心が回転中心であるとすれば、 トルクは回転中心から力の作用する点までの距離と回転方向の力の積で与えられる。 Ｎ極、Ｓ極ともに同方向の回転を引き起こす大きさの同じ力が働いている。この回転力は、Ｈの方向とＰ_mの 方向を（鋭角で回転して）そろえるように作用する。Ｐ_mＨ＞０の時は、Ｙ軸を回転軸として（ＺＸ平面に投影したとき）左回転、 Ｐ_mＨ＜０の時は、Ｙ軸を回転軸として、（ＺＸ平面に投影したとき）右回転を引き起こす。 トルクの大きさは、両極の寄与を足して、Ｔ＝|ＦＬ|／２＊２＝|Ｐ_mＨ|〔Ｎｍ〕となる。 よって、トルクＴを成分で表せば、（０，−Ｐ_mＨ，０）〔Ｎｍ〕で与えられる。 （トルクは、回転の方向に右ねじを回したとき進む方向を向く。）

４．２を参考にして考える。棒磁石の両端に現れたＰ_m／Ｌ〔Ｗｂ〕の磁荷にＰ_m／ＬＨ〔Ｎ〕なる力が、−Ｐ_m／Ｌ〔Ｗｂ〕の磁荷に−Ｐ_m／ＬＨ〔Ｎ〕の力がそれぞれ働いている。それぞれの磁荷は、磁界の方向（Ｚ軸の正の方向）に対して、Ｌ／２、−Ｌ／２〔ｍ〕移動する。よって、全体の獲得エネルギーΔＷは、

　ΔＷ＝−Ｐ_m／Ｌ*Ｈ*Ｌ／２−（−Ｐ_m／Ｌ）*Ｈ*（−Ｌ／２）
　　　＝−Ｐ_mＨ〔Ｊ〕

５．磁化の大きさＭ＝Ｐ_m／Ｌ＝０．２５〔Ｗｂ〕である。
力の大きさ：２を参考にして、ＭＨ＝２５〔Ｎ〕となる。力の方向は、Ｎ極が磁界の方向、Ｓ極が磁界と逆の方向。
トルクの大きさ：３を参考にして、|Ｐ_mＨ|＝１〔Ｎｍ〕。 Ｐ_mＨ＞０の時は、Ｙ軸の負の方向、Ｐ_mＨ＜０の時は、Ｙ軸の正の方向に向く。

別解

３．トルクＴは、Ｐ_mとＨの外積により　Ｔ＝Ｐ_m×Ｈで与えられるので、成分の計算をすれば、ベクトル量として直接求まる。
　　Ｔ＝−Ｐ_mＨｅ_y＝（０，−Ｐ_mＨ，０）〔Ｎｍ〕
　Ｐ_mＨ＞０（＜０）ならば、ＺＸ平面に投影したときに左回転（右回転）を起こそうとする回転力である。

４．トルクと回転量をかければ、エネルギーが求まる。ＺＸ平面で、Ｘ軸からＺ軸に向かって回転させたときのエネルギーを考えればよい。 ＺＸ平面で、Ｚ軸を基準として、Ｘ軸に向かって角度θを考える。回転方向成分の力がトルクに寄与するので、 Ｔ＝−Ｐ_mＨｓｉｎθで与えられてエネルギーの増加分ΔＷは、

ΔＷ＝∫−Ｔdθ（θ；π／２〜０）＝∫Ｐ_mＨｓｉｎθdθ（θ；π／２〜０）
　＝［−Ｐ_mＨｃｏｓθ］（θ；π／２〜０）
　＝−Ｐ_mＨ〔Ｊ〕

となる。

II　Ｈ（＝（０，０，Ｈ））〔Ａ／ｍ〕なる一様な磁界中に、磁気モーメントＰ_m （＝（Ｐ_mｓｉｎθ，０，Ｐ_mｃｏｓθ））〔Ｗｂｍ〕なる棒磁石がある。棒磁石に働くトルクを求めよ。

解答例

ベクトル量としてそのまま計算すれば、
Ｔ＝Ｐ_ｍ×Ｈ＝−Ｐ_ｍｓｉｎθＨｅ_y〔Ｎｍ〕 ＝（０，−Ｐ_ｍＨｓｉｎθ，０）〔Ｎｍ〕

別解

Ｐ_mとＨのなす角がθであるからトルクの大きさはＰ_mＨｓｉｎθ〔Ｎｍ〕となる。 また、Ｐ_mとＨを含む面に垂直な方向はＹ軸に垂直で、Ｐ_m からＨへと回転して右ねじが進む方向はＹ軸の負の方向なので、トルクを成分で表せば、

　（０，−Ｐ_mＨｓｉｎθ，０）〔Ｎｍ〕

III　ｙ軸に沿って正の方向に、Ι〔Ａ〕の電流が流れている。以下の問いに答えよ。
　　１．点ｒ（＝（ｘ，ｙ，ｚ））〔ｍ〕における磁界を求めよ。
　　２．点ｒに磁気モーメントＰ_m（＝（Ｐ_mｓｉｎθ，Ｐ_mｃｏｓθ，０））〔Ｗｂｍ〕 の磁石をおいた。磁石に働くトルクを求めよ。
　　３．Ι＝１００〔Ａ〕，Ｐ_m＝０．０１〔Ｗｂｍ〕のとき、磁石に働くトルクの大きさと方向を求めよ。

解答例

１　ｙ軸の正の方向に向かって、電流Ιが流れているので、磁力線は、y軸に対して同心円状で、右回りにある。 磁界の大きさＨは周回積分の法則より、
∫Ｈｄｌ＝Ι　→　２π（ｘ²＋z²）^1/2Ｈ＝Ι
　　Ｈ＝Ι／2π（ｘ²＋ｚ²）^1/2
　　磁界は磁力線の接線方向を向くので、Ｈの方向の単位ベクトルは、（ｚ／（ｘ²＋ｚ²）^1/2，０，−ｘ／（ｘ²＋ｚ²）^1/2）
　Ｈ＝Ι／2π（ｘ²＋ｚ²）^1/2（ｚ／（ｘ²＋ｚ²）^1/2，０，−ｘ／（ｘ²＋ｚ²）^1/2）
　　　　＝（Ιｚ／2π（ｘ²＋ｚ²），０，−Ιｘ／2π（ｘ²＋ｚ²））〔Ａ／ｍ〕

２　IIを参考にすれば、Ｔ＝Ｐ_m×Ｈ　であるから、外積を直接計算して、
　Ｔ＝（Ｐ_mｃｏｓθ（−Ιｘ／2π（ｘ²＋ｚ²））ｅ_x −（Ｐ_mｓｉｎθ（−Ιｘ／2π（ｘ²＋ｚ²））ｅ_y −（Ｐ_mｃｏｓθ（Ιｚ／2π（ｘ²＋ｚ²）））ｅ_z
　　　＝−ΙｘＰ_mｃｏｓθ／2π（ｘ²＋ｚ²））ｅ_x ＋ΙｘＰ_mｓｉｎθ／2π（ｘ²＋ｚ²））ｅ_y −ΙｚＰ_mｃｏｓθ／2π（ｘ²＋ｚ²）））ｅ_z　〔Ｎｍ〕

３　２を参考に値を入れれば、
　　Ｔ＝−ｘｃｏｓθ／2π（ｘ²＋ｚ²）ｅ_x ＋ｘｓｉｎθ／2π（ｘ²＋ｚ²）ｅ_y −ｚｃｏｓθ／2π（ｘ²＋ｚ²）ｅ_z　〔Ｎｍ〕

　トルクの大きさは、（ｘ²＋ｚ²ｃｏｓ²θ）^1/2／2π（ｘ²＋ｚ²）　〔Ｎｍ〕
　方向は、（単位ベクトルで表せば、） −ｘｃｏｓθ／（ｘ²＋ｚ²ｃｏｓ²θ）^1/2ｅ_x ＋ｘｓｉｎθ／（ｘ²＋ｚ²ｃｏｓ²θ）^1/2ｅ_y −ｚｃｏｓθ／（ｘ²＋ｚ²ｃｏｓ²θ）^1/2ｅ_z

これでこの項目は終わり

レポートの一覧

電気磁気学IIの入り口ページ