I　右のように比透磁率μ_rの鉄心にＮ回巻きのコイルが巻いてある。コイルには、Ι〔Ａ〕の電流が矢印の方向に流れている。以下の問いに答えよ。
　　１．鉄心内部の磁束を求めよ。
　　２．鉄心のギャップの磁束密度を求めよ。
　　３．鉄心の芯内とギャップそれぞれについて、磁界を求めよ。
　　４．鉄心のギャップ面に誘起される磁荷の面密度を求めよ。
　　５．ギャップ面間に働く力を求めよ。
　　６．全体の磁気抵抗はいくらか。
　　７．ａ＝０.５〔ｍ〕、ｂ＝１〔ｍ〕、Ｓ＝０.００１〔ｍ²〕、ｘ＝１〔ｃｍ〕、μ_r＝１０００、 Ｎ＝１０００〔回〕、Ι＝１０〔Ａ〕のとき、鉄心のギャップの磁束密度を求めよ。

解答例
　　１．
　磁気抵抗Ｒ_ｍは、ギャップでの磁束の広がりを無視すると、
　　Ｒ_ｍ＝（ｘ／μ_０＋（２ａ＋２ｂ−ｘ）／μ_ｒμ_０）／Ｓ〔ＡＴ／Ｗｂ〕
　であるから、磁束Φは、Ｒ_ｍを用いて、
　Φ＝ＮΙ／Ｒ_ｍ　〔Ｗｂ〕
　　＝ＮΙＳμ_０／（ｘ＋（２ａ＋２ｂ−ｘ）／μ_ｒ）〔Ｗｂ〕
　　２．
　面積がＳ〔ｍ^２〕であるから、磁束密度Ｂは、
　Ｂ＝Φ／Ｓ〔Ｗｂ／ｍ^２〕＝μ_０ＮΙ／（ｘ＋（２ａ＋２ｂ−ｘ）／μ_ｒ）〔Ｗｂ／ｍ^２〕 （＝ＮΙ／Ｒ_ｍＳ）〔Ｗｂ／ｍ^２〕
　　３．
　鉄心内の磁束密度はＢ、透磁率はμ_０μ_ｒであるから、鉄心内の磁界Ｈ_ｒは、
　Ｈ_ｒ＝Ｂ／μ_０μ_ｒ＝ＮΙ／（ｘμ_ｒ＋（２ａ＋２ｂ−ｘ））〔ＡＴ／ｍ〕
　ギャップでの磁束密度はＢ、透磁率はμ_０であるから、ギャップ内の磁界Ｈ_０は、
　Ｈ_０＝Ｂ／μ_０＝ＮΙ／（ｘ＋（２ａ＋２ｂ−ｘ）／μ_ｒ）〔ＡＴ／ｍ〕
　　４．
　　（磁気双極子により生じる）磁荷の面密度σ_ｍは、右のように閉曲面を選んで、ガウスの定理を適用すると
　∫Ｈ・d Ｓ＝∫σ_ｍ／μ_０*d Ｓ
　　であるから、σ_ｍ＝μ_０（Ｈ_０−Ｈ_ｒ）となる。ゆえに、
　σ_ｍ＝μ_０ＮΙ（μ_ｒ−１）／（ｘμ_ｒ＋（２ａ＋２ｂ−ｘ））〔Ｗｂ／ｍ^２〕
　磁気抵抗を使って表せば、σ_ｍ＝ＮΙ（１−１／μ_ｒ）／ＳＲ_ｍ〔Ｗｂ／ｍ^２〕

　　５．
　磁気回路の全エネルギーＷは次のように
　　Ｗ＝ＢＨ_ｒＳ（（２ａ＋２ｂ−ｘ）／２＋ＢＨ_０Ｓ（（２ａ＋２ｂ−ｘ）／２ ＝（ＮΙ／Ｒ_ｍ）^２／μ_０Ｓ*（（２ａ＋２ｂ−ｘ）／μ_ｒ＋ｘ）〔Ｊ〕
　で与えられ、これをギャップｘで偏微分すれば力が得られる。鉄心の実効的な長さ（２ａ＋２ｂ−ｘ）がギャップｘに対して、充分に長ければ、（２ａ＋２ｂ−ｘ≒２ａ＋２ｂ）、（Ｒ_ｍはギャップｘに対して一定）と見なせる。
このときには、引力が働き、大きさｆは、ｆ＝∂Ｗ／∂ｘ＝（ＮΙ／Ｒ_ｍ）^２／μ_０Ｓ〔Ｎ〕
　　６．
　すでに求めているように、磁気抵抗Ｒ_ｍ＝（ｘ／μ_０＋（２ａ＋２ｂ−ｘ）／μ_ｒμ_０）／Ｓ〔ＡＴ／Ｗｂ〕
　　７．
　’２．’を参考にすれば、Ｂ＝４π×１０^−７×１０００×１０／（０．０１＋２．９９／１０００）＝０．９７〔Ｗｂ／ｍ^２〕

II　真空中で、半径ｒ〔ｍ〕の円状にΙ〔Ａ〕の電流が流れている。円内を貫通する磁束を求めよ。

解答例
　半径ｒ〔ｍ〕の円上の点ｒ〔ｍ〕を速度υ〔ｍ／ｓ〕で運動するｑ〔ｃ〕の点電荷が点Ｒに作る磁界Ｈ（Ｒ）は、ビオ・サバールの法則より、次のように与えられる。
　　Ｈ（Ｒ）＝（ｑυ×（Ｒ−ｒ）／｜Ｒ−ｒ｜）／４π｜Ｒ−ｒ｜^２
　円の中心を原点とし、Ｒを結ぶ方向にｘ軸をとり、電流が右ねじの方向になるようにｚ軸を選ぶ。円周上の単位長さ当たりの電荷密度をλ〔Ｃ／ｍ〕とすれば、全電荷が点Ｒに作る磁界は、先の式のｑがλ｜d ｒ｜に変わるので、
　　Ｈ（Ｒ）＝∫（λ｜d ｒ｜υ×（Ｒ−ｒ）／｜Ｒ−ｒ｜）／４π｜Ｒ−ｒ｜^２
　積分は全電荷について行うので、ｘ軸からの角度をθとすれば、｜d ｒ｜＝ｒdθとなる。また、それぞれのベクトル成分は、
　　υ＝（−υｓｉｎθ，υｃｏｓθ，０）（｜υ｜＝υ），ｒ＝（ｒｃｏｓθ，ｒｓｉｎθ，０），Ｒ＝（Ｒ，０，０）である。
　外積の計算を行えば、Ｈは，ｚ軸成分Ｈ_ｚしかないことが分かる。
　　Ｈ_ｚ＝∫λυ（ｒ−Ｒｃｏｓθ）ｒdθ／４π（ｒ^２＋Ｒ^２−２ｒＲｃｏｓθ）^３／２ （θ；０〜２π）
　Ι＝λυであるから、
　　Ｈ_ｚ＝∫Ι（ｒ−Ｒｃｏｓθ）ｒdθ／４π（ｒ^２＋Ｒ^２−２ｒＲｃｏｓθ）^３／２ （θ；０〜２π）
　磁束密度Ｂ〔Ｗｂ／ｍ^２〕は、Ｂ＝μ_０Ｈで与えられる。
　磁束Φ〔Ｗｂ〕は、磁束密度を積分して、
　Φ＝∫Ｂ_ｚ２πＲd Ｒ（Ｒ；０〜ｒ）
　＝∫∫μ_０Ι（ｒ−Ｒｃｏｓθ）ｒＲdθ／２（ｒ^２＋Ｒ^２−２ｒＲｃｏｓθ）^３／２ d Ｒ（θ；０〜２π）（Ｒ；０〜ｒ）
　＝μ_０Ι／２*∫∫（ｒ−Ｒｃｏｓθ）ｒＲ／（ｒ^２＋Ｒ^２−２ｒＲｃｏｓθ）^３／２ dθd Ｒ（θ；０〜２π）（Ｒ；０〜ｒ）
Ｒ＝ｒｔとおけば、
　Φ＝μ_０Ιｒ／２*∫∫（１−ｔｃｏｓθ）ｔ／（１＋ｔ^２−２ｔｃｏｓθ）^３／２ dθd ｔ（θ；０〜２π）（ｔ；０〜１）
　ここで、∫∫（ｔ−ｔ^２ｃｏｓθ）／（１＋ｔ^２−２ｔｃｏｓθ）^３／２ dθd ｔ（θ；０〜２π）（ｔ；０〜１）は定数を与える。この定数をαとおけば、

　Φ＝αμ_０Ιｒ／２〔Ｗｂ〕

III　右のようにｚ軸を中心とした同軸状（円柱状と円筒状）の導体に一様に無限長の直線状電流が流れている。以下の問いに答えよ。
　　１．点（ｘ，ｙ，ｚ）〔ｍ〕における磁界を求めよ。
　　２．Ｒ_１＝３〔ｍｍ〕、Ｒ_２＝１０〔ｍｍ〕、Ｌ＝５〔ｍｍ〕、円柱と円筒の空隙の比透磁率＝μ_ｒ、Ι_１＝−Ι_２＝１０〔Ａ〕とする。磁界の大きさと磁束密度をｚ軸からの距離ｒ〔ｍ〕の関数として、グラフで表せ。
　　３．同軸方向の単位長さ当たりの電流による磁気エネルギーを求めよ。

解答例

　　１．
　磁力線は、同軸の中心を中心軸とした同心円状にｘｙ平面に平行にある。磁界が磁力線の接線の方向を向くことを考慮して、 周回積分∫Ｈ・d ｌ（ｌ；閉曲線）＝Ι（閉曲線で囲まれた電流）を利用する。
ｒ＝（ｘ^２＋ｙ^２）^１／２とすれば、半径ｒの円周上で磁界の大きさＨは等しいので、周回積分値はＨ２πｒとなる。磁界の正の方向をｚ軸の正の方向に右ねじを進める方向に選べば、周回積分値と閉曲線内の電流と等しいことから、Ιを場合分けして、
ｒ＜Ｒ_１　　：　Ι＝Ι_１ｒ^２／Ｒ_１^２
Ｒ_１＜ｒ＜Ｌ　　：　Ι＝Ι_１
Ｌ＜ｒ＜Ｒ_２　　：　Ι＝Ι_１＋Ι_２（ｒ^２−Ｌ^２）／（Ｒ_２^２−Ｌ^２）
Ｒ_２＜ｒ　　：　Ι＝Ι_１＋Ι^２

よって、磁界の大きさＨは、
ｒ＜Ｒ_１　　：　Ｈ＝Ι_１ｒ／２πＲ_１^２〔Ａ／ｍ〕
Ｒ_１＜ｒ＜Ｌ　　：　Ｈ＝Ι_１／２πｒ〔Ａ／ｍ〕
Ｌ＜ｒ＜Ｒ_２　　：　Ｈ＝（Ι_１＋Ι_２（ｒ^２−Ｌ^２）／（Ｒ_２^２−Ｌ^２））／２πｒ〔Ａ／ｍ〕
Ｒ_２＜ｒ　　：　Ｈ＝（Ι_１＋Ι_２）／２πｒ〔Ａ／ｍ〕

ベクトルで表せば、
ｒ＜Ｒ_１　　：　Ｈ＝Ι_１／２πＲ_１^２*（−ｙ，ｘ）〔Ａ／ｍ〕
Ｒ_１＜ｒ＜Ｌ　　：　Ｈ＝Ι_１／２π（ｘ^２＋ｙ^２） *（−ｙ，ｘ）〔Ａ／ｍ〕
Ｌ＜ｒ＜Ｒ_２　　：　Ｈ＝（Ι_１＋Ι_２（ｘ^２＋ｙ^２−Ｌ^２）／（Ｒ_２^２−Ｌ^２））／２π（ｘ^２＋ｙ^２）*（−ｙ，ｘ）〔Ａ／ｍ〕
Ｒ_２＜ｒ　　：　Ｈ＝（Ι_１＋Ι_２）／２π（ｘ^２＋ｙ^２）*（−ｙ，ｘ）〔Ａ／ｍ〕

　　２．
　１．で求めたＨに値を代入すれば、磁界の大きさは、
ｒ＜３〔ｍｍ〕　　：　Ｈ＝１．８×１０^５ｒ〔Ａ／ｍ〕
３〔ｍｍ〕＜ｒ＜５〔ｍｍ〕　　：　Ｈ＝１．６／ｒ〔Ａ／ｍ〕
５〔ｍｍ〕＜ｒ＜１０〔ｍｍ〕　　：　Ｈ＝１．６／ｒ−２．１×１０^４ （ｒ^２−２．５×１０^−５）／ｒ〔Ａ／ｍ〕
１０〔ｍｍ〕＜ｒ　　：　Ｈ＝０〔Ａ／ｍ〕

　　３．
　Ι_１＋Ι_２≠０の時は、単位長さ当たりの磁気エネルギーは発散するので、Ι_１＋Ι_２＝０の場合について計算する。単位長さ当たりの磁気エネルギーｗは、 ｗ＝∫ＢＨ／２d Ｓ（Ｓ；ｘｙ平面全体）で与えられる。Ｂ＝μ_０μ_ｒＨであることを考慮して、１．を参考にすれば、
　ｗ＝１／２*∫ＢＨd Ｓ（Ｓ；ｘｙ平面全体） ＝μ_０／２*∫Ｈ^２２πｒd ｒ（ｒ；０〜∞） ＝μ_０／２*Ι_１^２／２πＲ_１^４*∫ｒ^３d ｒ（ｒ；０〜Ｒ_１） ＋μ_０μ_ｒ／２*∫Ι_１^２／２πｒd ｒ（ｒ；Ｒ_１〜Ｌ） ＋μ_０／２*Ι_１^２*∫ （１−（ｒ^２−Ｌ^２）／（Ｒ_２^２−Ｌ^２））^２ ／２πｒd ｒ（ｒ；Ｌ〜Ｒ_２） ＝μ_０Ι_１^２／１６π ＋μ_０Ι_１^２／４π*（μ_ｒｌｏｇ（Ｌ／Ｒ_１） ＋（Ｒ_２^２／（Ｒ_２^２−Ｌ^２））^２*（ｌｏｇ（Ｒ_２／Ｌ） ＋（Ｌ^２／４−３／４*Ｒ_２^２）／（Ｒ_２^２−Ｌ^２））〔Ｊ／ｍ〕

これでこの項目は終わり

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