I　Ｂ（＝（０，０，Ｂ））〔Ｗｂ／ｍ^２〕なる一様な磁場中で 電荷ｑ〔ｃ〕、質量ｍ〔Ｋｇ〕の荷電粒子が、速度 υ（ｔ）（＝（υ_ｘ（ｔ），υ_ｙ（ｔ），υ_ｚ（ｔ）））〔ｍ／ｓ〕で 運動している。荷電粒子は、ｔ＝０で、原点にあり、 υ（０）＝（υ_ｘ０，０，υ_ｚ０）〔ｍ／ｓ〕である。 以下の問いに答えよ。
　　１．荷電粒子に働く力を求めよ。
　　２．荷電粒子はどの様な運動をするか?
　　３．荷電粒子の運動をｘｙ平面に投影すると円運動している。円運動の半径と周期を求めよ。
　　４．Ｂ＝０．１〔Ｗｂ／ｍ^２〕、ｑ＝−１．６×１０^−１９〔Ｃ〕、ｍ＝９．１×１０^−３１〔Ｋｇ〕 、υ_ｘ０＝１００〔ｍ／ｓ〕、υ_ｚ０＝１００〔ｍ／ｓ〕とする。 ３．において、円運動の半径と周期を求めよ。

解答例

１．　　力　Ｆ＝ｑυ×Ｂ　であるから、計算すれば、
　　　Ｆ＝ｑＢυ_ｙ（ｔ）ｅ_ｘ−ｑＢυ_ｘ（ｔ）ｅ_ｙ〔Ｎ〕

２．３．　ｚ軸方向には力を受けていないので、等速運動をする。ｘ軸、ｙ軸方向には、力を受けているので、加速度運動をする。 加速度は速度によりそれぞれ、∂υ_ｘ／∂ｔ、∂υ_ｙ／∂ｔで与えられるので、
　　ｍ∂υ_ｘ／∂ｔ＝ｑＢυ_ｙ、ｍ∂υ_ｙ／∂ｔ＝−ｑＢυ_ｙ
　　ω＝ｑＢ／ｍ　とおけば、
　　∂υ_ｘ／∂ｔ＝ωυ_ｙ、∂υ_ｙ／∂ｔ＝−ωυ_ｙ
　よって、∂^２υ_ｘ／∂ｔ^２＝−ω^２υ_ｘ、 υ_ｙ＝１／ω*∂υ_ｘ／∂ｔ
　初期条件に合わせて、解けば、υ_ｘ＝υ_ｘ０ｃｏｓ（ωｔ），υ_ｙ＝−υ_ｘ０ｓｉｎ（ωｔ）
　υ＝（υ_ｘ０ｃｏｓ（ωｔ），−υ_ｘ０ｓｉｎ（ωｔ），υ_ｚ０）〔ｍ／ｓ〕
　ｔに関して積分して、初期条件を考慮して、
　　ｒ（ｔ）＝（υ_ｘ０／ω*ｓｉｎ（ωｔ），υ_ｘ０／ω*（ｃｏｓ（ωｔ）−１），υ_ｚ０ｔ）〔ｍ〕
　ｘｙ平面上では、中心（０，−υ_ｘ０／ω）〔ｍ〕，半径υ_ｘ０／ω〔ｍ〕，角速度ω〔ｒａｄ／ｓ〕で、時計回りに回転する。ｚ軸方向へは、一定の速度υ_ｚ０〔ｍ／ｓ〕で進む。よって、ｚ軸方向に向かって、螺旋運動をする。周期Ｔは、Ｔ＝２π／ω＝２πｍ／ｑＢ〔ｓ〕　もし、Ｔ＜０（電荷が負)）になったら、電荷は反時計方向に回転する。 （回転運動の半径：υ_ｘ０／ω＝ｍυ_ｘ０／ｑＢ）

４．　値を代入して角速度は、１．７６×１０^１０〔ｒａｄ／ｓ〕であるから、円運動の半径は、５．７×１０^−９〔ｍ〕＝５．７〔ｎｍ〕、周期は、３．５６×１０^−１０〔ｓ〕≒０．３６〔ｎｓ〕

II　Ｂ（＝（Ｂ，０，０））〔Ｗｂ／ｍ^２〕なる一様な磁場中に図のような長方形状の１〔回巻〕のコイルがおかれている。コイルは、長辺がａ〔ｍ〕、短辺がｂ〔ｍ〕で、２つの長辺の中心を結ぶ線を軸にして回転できる。磁場の方向からコイル面の垂線へ至る角度をθ〔ｒａｄ〕とする。 図の手前から見て反時計方向に測った回転方向を正とする。以下の問いに答えよ。
　　１．コイルに電源をつないで、図のようにΙ〔Ａ〕の電流を流した。コイルに働く力とトルクを求めよ。
　　２．コイルを角速度ω〔ｒａｄ／ｓ〕で回転させた。コイルに発生する電圧を求めよ。
　　３．２で、コイルにＲ〔Ω〕の抵抗をつないだ。コイルに流れる電流を求めよ。
　　４．３の電流によりコイルに働くトルクを求めよ
　　５．３で抵抗で消費される電力を求めよ。
　　６．コイルがＮ回巻きの時には、１．〜５．の量はどの様になるか。
　　７．Ｎ＝１０００〔回巻〕、ａ＝０．２〔ｍ〕、ｂ＝０．１〔ｍ〕、Ｂ＝０．５〔Ｗｂ／ｍ^２〕、ω＝４００〔ｒａｄ／ｓ〕、Ｒ＝１０〔Ω〕のとき、コイルに発生する電圧と、抵抗で消費する電力を求めよ。

解答例

１．　長さｂ〔ｍ〕のコイルの電流と磁場は直交している。長さｂ〔ｍ〕のコイルには、磁場と垂直な面内（水平方向）にコイルに対して外向きに、ΙＢｂ〔Ｎ〕の力が働く。二本のｂ〔ｍ〕の長さのコイルには、逆方向に力が働く。これらの力は、コイルを広げよう（縮めよう）とする力（コイル面内の方向成分）と、コイルを回転させようとする力（コイル面に垂直な成分）に分解される。コイルを広げよう（電流が磁場に対して反時計回りであれば、縮めよう）とする力は、ΙＢｂ*ｃｏｓθ〔Ｎ〕、コイルを回転させようとする力はΙＢｂ*ｓｉｎθ〔Ｎ〕で表される。コイルを回転させようとする力は、二本のコイルで、同じ方向に働くので、合成してトルクで表せば、２*ａ／２*ΙＢｂ*ｓｉｎθ＝ａｂΙＢｓｉｎθ〔Ｎｍ〕で、時計方向に回転させようと働く。長さａ〔ｍ〕のコイルは、電流と磁場がπ／２−θの角度をなしているので、ａΙＢｓｉｎ（π／２−θ）（＝ａΙＢｃｏｓθ）〔Ｎ〕の力が、コイル面内で、コイルを広げる（電流が磁場に対して反時計回りであれば、縮める）方向に働く。

２．　長さｂ〔ｍ〕のコイルの右の辺は、周速度ωａ／２〔ｍ／ｓ〕で、磁場中を運動している。磁場と垂直な成分（ωａ／２*ｓｉｎθ）に対して、ローレンツ力が働く。コイル内のｑ〔ｃ〕電荷には、ｑＢωａ／２*ｓｉｎθ〔Ｎ〕なる力が働き、電荷は移動する。電荷の移動は、移動した電荷が作る電界がローレンツ力とバランスするまで起こる。すなわち、コイルにはＢωａｂ／２*ｓｉｎθ〔Ｖ／ｍ〕なる電界が発生する。ゆえに、長さｂ〔ｍ〕のコイルに発生する電圧は、Ｂωａｂ／２*ｓｉｎθ〔Ｖ〕で、手前から向こうに向かって高い電圧になる。もう一方の辺についても同様にして、向こうから手前に向かってＢωａｂ／２*ｓｉｎθ〔Ｖ〕の電圧が発生する。よって、コイルの両端には、Ｂωａｂ*ｓｉｎθ〔Ｖ〕なる電圧が発生する。

３．　電圧が、Ｂωａｂ*ｓｉｎθ〔Ｖ〕であるから、電流は、Ｂωａｂ／Ｒ*ｓｉｎθ〔Ａ〕である。

４．　１．を参考にして、トルクは、ω／Ｒ*（Ｂａｂ*ｓｉｎθ）^２〔Ｎｍ〕

５．　３．を参考にして、ω^２／Ｒ*（Ｂａｂ*ｓｉｎθ）^２〔Ｗ〕

６．　１．のトルク：一回巻き当たり、ａｂΙＢｓｉｎθ〔Ｎｍ〕であるから、ａｂΙＢＮｓｉｎθ〔Ｎｍ〕
　　　　　２．の電圧　：一回巻き当たり、Ｂωａｂ*ｓｉｎθ〔Ｖ〕であるから、ＢωａｂＮｓｉｎθ〔Ｖ〕
　　　　　３．の電流　：電圧がＮ倍であるから電流もＮ倍、ＢωａｂＮ／Ｒ*ｓｉｎθ〔Ａ〕
　　　　　４．のトルク：一回巻き当たり、電流がＮ倍になっているので、Ｎ倍のトルクになる。Ｎ回巻きであるから、さらにＮ倍されて、 ω／Ｒ*（ＢａｂＮｓｉｎθ）^２〔Ｎｍ〕
　　　　　５．の電力　：電圧、電流ともにＮ倍になるので、Ｎ^２倍になるので、ω^２／Ｒ*（ＢａｂＮｓｉｎθ）^２〔Ｗ〕

７．　コイルに発生する電圧：４０００ｓｉｎθ〔Ｖ〕、電力：１５００〔ｋＷ〕

III　右のような比透磁率μ_ｒの磁性体からなる磁気回路に、Ｎ_１〔回巻〕のコイル１とＮ_２〔回巻〕のコイル２がある。以下の問いに答えよ。
　　１．コイル１の端子ａ→端子ｂに向かって、Ι_１〔Ａ〕の電流を流した。鉄心内の磁束を求めよ。
　　２．１でコイル１のΙ_１〔Ａ〕の電流に加えて、コイル２の端子ｃ→端子ｄに向かって、Ι_２〔Ａ〕の電流を流した。鉄心内の磁束を求めよ。
　　３．２において、磁気回路に蓄えられたエネルギーを求めよ。
　　４．１において、コイル１のΙ_１〔Ａ〕の電流が、�凾舶b間に�刄ｧ_１〔Ａ〕増加した。磁束の単位時間当たりの変化率を求めよ。
　　５．コイル１とコイル２に誘起される電圧を求めよ。
　　６．コイル１とコイル２の自己インダクタンスと相互インダクタンスを求めよ。
　　７．μ_ｒ＝５００、Ｌ＝０．１〔ｍ〕、Ｔ＝０．２〔ｍ〕、Ｓ＝１〔ｃｍ^２〕、 Ｎ_１＝１０００〔回巻〕、Ｎ_２＝２０００〔回巻〕のとき、６．の自己インダクタンスと相互インダクタンスはいくらか。

解答例

１．　磁気抵抗Ｒ_ｍ〔ＡＴ／Ｗｂ〕は、磁路の長さが、２（Ｔ＋Ｌ）であるから、Ｒ_ｍ＝２（Ｔ＋Ｌ）／Ｓμ_０μ_ｒとなる。よって、鉄心内の磁束Φ_１〔Ｗｂ〕は、Φ_１＝ＮΙ／Ｒ_ｍ＝μ_０μ_ｒＳＮ_１Ι_１／２（Ｔ＋Ｌ）となる。図で（鉄心内に）時計方向に循環する磁束が発生する。

２．　１．と同様に考えれば、コイル２．による磁束Φ_２は、Φ_２＝μ_０μ_ｒＳＮ_２Ι_２／２（Ｔ＋Ｌ）で与えられる。磁束は、'１．'と同様に、鉄心内で時計方向に循環するので、１．の磁束に加えればよい。全体の磁束磁Φ〔Ｗｂ〕は、Φ＝μ_０μ_ｒＳ（Ｎ_１Ι_１＋Ｎ_２Ι_２）／２（Ｔ＋Ｌ）

３．　磁界Ｈ〔ＡＴ／ｍ〕は（Ｎ_１Ι_１＋Ｎ_２Ι_２）／２（Ｔ＋Ｌ）、 磁束密度Ｂ〔Ｗｂ〕はμ_０μ_ｒＨであるから、単位体積当たりの磁気エネルギーは、ＢＨ／２＝μ_０μ_ｒＨ^２／２〔Ｊ／ｍ^３〕となる。体積が、２（Ｔ＋Ｌ）Ｓ〔ｍ^３〕であるから、磁気エネルギーＷ〔Ｊ〕は、Ｗ＝μ_０μ_ｒ（Ｎ_１Ι_１＋Ｎ_２Ι_２）^２Ｓ／４（Ｔ＋Ｌ）〔Ｊ〕＝（Ｎ_１Ι_１＋Ｎ_２Ι_２）^２／２Ｒ_ｍ〔Ｊ〕

４．　磁束の単位時間当たりの変化（磁束の時間に対する変化率）は、�刄ｳ／�凾�＝μ_０μ_ｒＳ（Ｎ_１�刄ｧ_１／�凾煤{Ｎ_２�刄ｧ_２／�凾煤j／２（Ｔ＋Ｌ）である。Ι_２の時間変化は考えないので、�刄ｳ／�凾�＝μ_０μ_ｒＳＮ_１／２（Ｔ＋Ｌ）*�刄ｧ_１／�凾�＝Ｎ_１／Ｒ_ｍ*�刄ｧ_１／�凾�

５．　コイル一回巻き当たりに誘起される電圧は、�刄ｳ／�凾�であるから、コイル１，コイル２にはそれぞれ、
端子ｂを基準にして、Ｖ_１＝Ｎ_１�刄ｳ／�凾�＝μ_０μ_ｒＳＮ_１^２／２（Ｔ＋Ｌ）*�刄ｧ_１／�凾煤kＶ〕＝Ｎ_１^２／Ｒ_ｍ*�刄ｧ_１／�凾煤kＶ〕
端子ｄを基準にして、Ｖ_２＝Ｎ_２�刄ｳ／�凾�＝μ_０μ_ｒＳＮ_１Ｎ_２／２（Ｔ＋Ｌ）*�刄ｧ_１／�凾煤kＶ〕＝Ｎ_１Ｎ_２／Ｒ_ｍ*�刄ｧ_１／�凾煤kＶ〕
の電圧が発生する。

６．　５．を参考にして、
　コイル１の自己インダクタンス　Ｌ_１　：　Ｎ_１^２／Ｒ_ｍ〔Ｈ〕
　コイル２の自己インダクタンス　Ｌ_２　：　Ｎ_２^２／Ｒ_ｍ〔Ｈ〕
　コイル１、コイル２の相互インダクタンス　Ｍ_１２　：　Ｎ_１Ｎ_２／Ｒ_ｍ〔Ｈ〕

７．　５．を参考にして、磁気抵抗Ｒ_ｍ〔ＡＴ／Ｗｂ〕＝２（０．１＋０．２）／１０^−４＊４π×１０^−７＊５００＝９．５×１０^６　であるから、
　Ｌ_１＝１０^６／Ｒ_ｍ＝０．１〔Ｈ〕
　Ｌ_２＝４×１０^６／Ｒ_ｍ＝０．４〔Ｈ〕
　Ｍ_１２＝２×１０^６／Ｒ_ｍ＝０．２〔Ｈ〕

これでこの項目は終わり

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