電気回路�U （１９９７年度　前期　本試験）　解答のコーナー

　 １．右の回路において、Ｌ／Ｃ＝Ｒ₁Ｒ₂とする。 Ｉを求めよ。
ただし、Ｅ₀は、実効値Ｅ₀、角周波数ω₀の電圧源、
Ｅ₁は、実効値Ｅ₁、角周波数ω₁の電圧源である。

解答
二つの電源は、角周波数が異なるのでそれぞれの電源による電流成分を求める際には、 インピーダンスが異なるので注意
ここでは、重ね合せによって求める。
電源Ｅ₀のＩに対する電流成分Ｉ₀は、電圧源（この場合には、Ｅ₁） の内部インピーダンスが０であることを考慮して、
Ｉ₀＝Ｅ₀／（ｊω₀ＬＲ₁／（ｊω₀Ｌ＋Ｒ₁）＋Ｒ₂／（１＋ｊω₀ＣＲ₂））
　　　＝Ｅ₀（１／ｊω₀Ｃ＋Ｒ₂）（ｊω₀Ｌ＋Ｒ₁） ／（ｊω₀ＬＲ₁（１／ｊω₀Ｃ＋Ｒ₂）＋Ｒ₂／ｊω₀Ｃ*（ｊω₀Ｌ＋Ｒ₁））
　　　＝Ｅ₀（Ｒ₁Ｒ₂＋Ｌ／Ｃ＋Ｒ₁／ｊω₀Ｃ＋ｊω₀ＬＲ₂） ／（（Ｒ₁＋Ｒ₂）Ｌ／Ｃ＋Ｒ₁Ｒ₂（ｊω₀Ｌ＋１／ｊω₀Ｃ））
　　　＝Ｅ₀（２＋Ｒ₁／ｊω₀Ｌ＋ｊω₀ＣＲ₂） ／（Ｒ₁＋Ｒ₂＋ｊ（ω₀Ｌ−１／ω₀Ｃ））

電源Ｅ₁のＩに対する電流成分Ｉ₁は、Ｒ₂を流れる電流とＣを流れる電流の差で与えられる。
電圧源（この場合には、Ｅ₀）の内部インピーダンスが０であることを考慮すれば、Ｅ₁から流れる電流をＩ₁₁として
Ｉ₁＝Ｉ₁₁（ｊω₁Ｌ／（ｊω₁Ｌ＋Ｒ₂）−Ｒ₁／（１／ｊω₁Ｃ＋Ｒ₁））
　　　＝Ｉ₁₁（（ｊω₁Ｌ（１／ｊω₁Ｃ＋Ｒ₁）−Ｒ₁（ｊω₁Ｌ＋Ｒ₂））／（ｊω₁Ｌ＋Ｒ₂）（１／ｊω₁Ｃ＋Ｒ₁））
　　　＝Ｉ₁₁（Ｌ／Ｃ−Ｒ₁Ｒ₂））／（ｊω₁Ｌ＋Ｒ₂）（１／ｊω₁Ｃ＋Ｒ₁））
　　　＝０　（Ｌ／Ｃ−Ｒ₁Ｒ₂＝０の条件より）
　（電源Ｅ₁から見たブリッジの平衡条件から、Ｉ₁＝０は自明）

　Ｉ＝Ｉ₀＋Ｉ₁＝Ｉ₀
　　＝Ｅ₀（Ｒ₁Ｒ₂＋Ｌ／Ｃ＋Ｒ₁／ｊω₀Ｃ＋ｊω₀ＬＲ₂） ／（（Ｒ₁＋Ｒ₂）Ｌ／Ｃ＋Ｒ₁Ｒ₂（ｊω₀Ｌ＋１／ｊω₀Ｃ））

　 ２．右の回路において、以下の問いに答えよ。
電源は、実効値Ｅの対称三相交流電源とする。

�@ａ相を基準として、Ｉを求めよ。

解答
Ａ→Ｂに流れる電流をＩ_AB、Ｃ→Ａに流れる電流をＩ_CAとすれば、 Ｉ＝Ｉ_AB−Ｉ_CAで与えられる。
Ｉ_AB＝（Ｅ_a−Ｅ_b）／Ｚ_ab＝３^1/2ｅ^jπ/6Ｅ_a／Ｚ_ab
Ｉ_CA＝（Ｅ_c−Ｅ_a）／Ｚ_ca＝３^1/2ｅ^j5π/6Ｅ_a／Ｚ_ca
Ｉ＝Ｉ_AB−Ｉ_CA＝３^1/2ｅ^jπ/6Ｅ_a（１／Ｚ_ab−ｅ^j2π/3／Ｚ_ca）

�AＳを開いた時、点Ａでの対地電位を求めよ。

解答
点Ｃから測った点Ａの電位Ｖ_CAは、ＢＣ間にＥ_b−Ｅ_cの電圧が印加されていることを考慮して、
Ｖ_CA＝（Ｅ_b−Ｅ_c）Ｚ_ca／（Ｚ_bc＋Ｚ_ca）
点Ｃの対地電位は、Ｅ_cであるから、点Ａの対地電位Ｖ_aは、
Ｖ_a＝Ｅ_c＋Ｖ_CA＝Ｅ_c＋（Ｅ_b−Ｅ_c）Ｚ_ca／（Ｚ_bc＋Ｚ_ca）
　　　　＝（Ｅ_bＺ_ca＋Ｅ_cＺ_bc）／（Ｚ_bc＋Ｚ_ca）

　 ３．右の回路において、四端子定数を求めよ。
解答
Ｖ₁＝ＡＶ₂＋ＢＩ₂
Ｉ₁＝ＣＶ₂＋ＤＩ₂
において、Ａ〜Ｄを求めればよい。上の式より、
Ａ＝Ｖ₁／Ｖ₂（Ｉ₂＝０：右側を開放）
Ｂ＝Ｖ₁／Ｉ₂（Ｖ₂＝０：右側を短絡）
Ｃ＝Ｉ₁／Ｖ₂（Ｉ₂＝０：右側を開放）
Ｄ＝Ｉ₁／Ｉ₂（Ｖ₂＝０：右側を短絡）
で求めることができる。左側の端子に適当な電源（例えば、実効値Ｅ、角周波数ωの電圧源） を想定して、上の比を求める。つまり、Ｖ₁＝Ｅとして考える。

Ａについて：　直列インピーダンスでの分圧である
Ｖ₂＝ＥＲ₂／（Ｒ₂＋ｊ（ωＬ−１／ωＣ））
Ａ＝Ｅ／Ｖ₂＝１＋ｊ（ωＬ−１／ωＣ）／Ｒ₂

Ｂについて：　ＬＣに流れる電流である
Ｉ₂＝Ｅ／ｊ（ωＬ−１／ωＣ）
Ｂ＝Ｅ／Ｉ₂＝ｊ（ωＬ−１／ωＣ）

Ｃについて：　Ｅより流れる全電流とＲ₂の電圧の比である
全電流Ｉ₁＝Ｅ（１／Ｒ₁＋１／（Ｒ₂＋ｊ（ωＬ−１／ωＣ）））
Ｖ₂＝ＥＲ₂／（Ｒ₂＋ｊ（ωＬ−１／ωＣ））
Ｃ＝Ｉ₁／Ｖ₂＝（１／Ｒ₁＋１／（Ｒ₂＋ｊ（ωＬ−１／ωＣ）））／Ｒ₂／（Ｒ₂＋ｊ（ωＬ−１／ωＣ））
　　＝（Ｒ₂＋ｊ（ωＬ−１／ωＣ））／Ｒ₁Ｒ₂＋１／Ｒ₂
　　＝１／Ｒ₁＋１／Ｒ₂＋ｊ（ωＬ−１／ωＣ）／Ｒ₁Ｒ₂

Ｄについて：　全電流に対するＬＣに流れる電流の割合である
Ｉ₂＝Ｅ／ｊ（ωＬ−１／ωＣ）
Ｉ₁＝Ｅ（１／Ｒ₁＋１／ｊ（ωＬ−１／ωＣ））
Ｄ＝Ｉ₁／Ｉ₂＝１＋ｊ（ωＬ−１／ωＣ）／Ｒ₁

　 ４．右の周期Ｔの電圧波形ｅ（ｔ）をフーリエ分解せよ。
解答
直流成分Ｅ₀＝１／Ｔ＊∫ｅ（ｔ）ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ）
　　　　＝１／Ｔ＊∫Ｅｄｔ；（ｔ：Ｔ／２〜Ｔ）＝ＥＴ／２／Ｔ＝Ｅ／２
直流成分を除いた関数‘ｅ（ｔ）−Ｅ／２’は、奇関数であるからｓｉｎ成分だけを考えればよい。
ｎ次の係数Ｅ_sn＝２／Ｔ＊∫ｓｉｎ（ｎωｔ）ｅ（ｔ）ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ）であるから
Ｅ_sn＝２／Ｔ＊∫Ｅｓｉｎ（ｎωｔ）ｄｔ；（ｔ：Ｔ／２〜Ｔ）
　　　＝２Ｅ／Ｔ＊［−１／ｎω＊ｃｏｓ（ｎωｔ）］；（ｔ：Ｔ／２〜Ｔ）
　　　＝−２Ｅ／ｎωＴ＊（ｃｏｓ（ｎωＴ）−ｃｏｓ（ｎωＴ／２））
　　　＝−２Ｅ／ｎωＴ＊（１−（−１）ⁿ）
　ｎが奇数の時のみ０でない値になる。このとき、
Ｅ_sn＝−２Ｅ／πｎ

ｅ（ｔ）＝Ｅ（１／２−２／π＊Σ１／ｎ＊ｓｉｎ（ｎωｔ））；（ｎ：正の奇数）　

これ以降はありません

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