さて、Δ型負荷とY型負荷で、任意のEa、Eb、Ec、ZGa、ZGb、ZGcに対して すべての線電流を等しくできるようなZa、Zb、ZcとZab、Zbc、Zcaの変換が存在すれば、 Δ接続とY接続の負荷は、交互に変換できる。このための条件を求める。
条件より、Iaが等しいとおいて、
1/(ZGa+Za)*((Ea−Eb)/(ZGb+Zb)+(Ea−Ec)/(ZGc+Zc))
/(1/(ZGa+Za)+1/(ZGb+Zb)+1/(ZGc+Zc))
=1/D*(ZZGc+ZbcZca)(Ea−Eb)
+(ZZGb+ZabZbc)(Ea−Ec))
Ea−Ebの係数を比較すれば、
1/(ZGa+Za)(ZGb+Zb)(1/(ZGa+Za)+1/(ZGb+Zb)+1/(ZGc+Zc))
=1/D*(ZZGc+ZbcZca)
(ZGc+Zc)/((ZGc+Zc)(ZGa+Za)+(ZGb+Zb)(ZGc+Zc)+(ZGa+Za)(ZGb+Zb))
=Z(ZGc+ZbcZca/Z)/(Z(ZGaZGb+ZGbZGc+ZGcZGa
+ZabZbc/Z*(ZGc+ZGa)+ZcaZab/Z*(ZGb+ZGc)+ZbcZca/Z*(ZGa+ZGb)+ZabZbcZca/Z)
(ZGc+Zc)/((ZGc+Zc)(ZGa+Za)+(ZGb+Zb)(ZGc+Zc)+(ZGa+Za)(ZGb+Zb))
=(ZGc+ZbcZca/Z)/(ZGaZGb+ZGbZGc+ZGcZGa
+ZabZbc/Z*(ZGc+ZGa)+ZcaZab/Z*(ZGb+ZGc)+ZbcZca/Z*(ZGa+ZGb)+ZabZbcZca/Z)
(ZGc+Zc)/(ZGaZGb+ZGbZGc+ZGcZGa
+ZGa(Zb+Zc)+ZGb(Zc+Za)+ZGc(Za+Zb)
+ZaZb+ZbZc+ZcZa)
=(ZGc+ZbcZca/Z)/(ZGaZGb+ZGbZGc+ZGcZGa
+ZabZbc/Z*(ZGc+ZGa)+ZcaZab/Z*(ZGb+ZGc)+ZbcZca/Z*(ZGa+ZGb)+ZabZbcZca/Z)
ゆえに、等式が成り立つ為には、
Zc=ZbcZca/Z @
Zb+Zc=ZabZbc/Z+ZbcZca/Z A
Zc+Za=ZbcZca/Z+ZcaZab/Z B
Za+Zb=ZcaZab/Z+ZabZbc/Z C
ZaZb+ZbZc+ZcZa=ZabZbcZca/Z D
@〜B式より、(Z=Zab+Zbc+Zcaで戻して、)
Za=ZcaZab/(Zab+Zbc+Zca)
Zb=ZabZbc/(Zab+Zbc+Zca)
Zc=ZbcZca/(Zab+Zbc+Zca)
これらの関係は、C、D式も満足する。
IaのEa−Ecの係数や、Ib、Icによっても同様の関係が得られる。
ゆえに、上式にしたがって、Δ型のインピーダンスは、Y型のインピーダンスに変換される。
上の式は、Y型接続のインピーダンスは、対応する相の両側のΔ型接続のインピーダンスの積をΔ型接続のインピーダンスの総和で割れば得られることを表す。
Dの右辺は、ZbcZa、ZcaZb、ZabZcと変形されるので、
(例えば、ZcaZab/(Zab+Zbc+Zca)=Zaを代入すれば、ZbcZaになる。)
ZaZb+ZbZc+ZcZa
=ZbcZa
=ZcaZb
=ZabZc
1行目と2行目より、
ZbcZa=ZaZb+ZbZc+ZcZa
Zbc=(ZaZb+ZbZc+ZcZa)/Za
=(Ya+Yb+Yc)/YbYc
(Ya=1/Za、Yb=1/Zb、Yc=1/Zcとおいた)
Ybc=1/Zbc=YbYc/(Ya+Yb+Yc)
同様にして、
1行目と3行目より、
Yca=YcYa/(Ya+Yb+Yc)
1行目と4行目より、
Yab=YaYb/(Ya+Yb+Yc)
ゆえに、上式にしたがって、Y型のアドミタンスは、Δ型のアドミタンスに変換される。(Z→Yに変えただけで式の形はΔ→Yの変換と同じ)
上の式は、Δ型接続のアドミタンスは、対応する両側の相のY型接続のアドミタンスの積をY型接続のアドミタンスの総和で割れば得られることを表す。