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負荷のΔ−Y変換


 右の星型接続された電源に下のようなY型、Δ型の負荷をそれぞれつないだ時の 線電流を求める。(添え字のgi(i=a,b,c)は電源の内部インピーダンスをli(i=a,b,c)は線路インピーダンスを表す。)
Ga=Zga+Zla、ZGb=Zgb+Zlb、ZGc=Zgc+Zlc とおくと枝電流における解き方を参考にできて、次のように求まる。
a=1/(ZGa+Za)*((Ea−Eb)/(ZGb+Zb)+(Ea−Ec)/(ZGc+Zc)) /(1/(ZGa+Za)+1/(ZGb+Zb)+1/(ZGc+Zc))
b=1/(ZGb+Zb)*((Eb−Ea)/(ZGa+Za)+(Eb−Ec)/(ZGc+Zc)) /(1/(ZGa+Za)+1/(ZGb+Zb)+1/(ZGc+Zc))
c=1/(ZGc+Zc)*((Ec−Ea)/(ZGa+Za)+(Ec−Eb)/(ZGb+Zb)) /(1/(ZGa+Za)+1/(ZGb+Zb)+1/(ZGc+Zc))
Ga=Zga+Zla、ZGb=Zgb+Zlb、ZGc=Zgc+Zlc とおくとループ電流における解き方を参考にできて、次のように求まる。 Z=Zab+Zbc+Zcaとおいて、
 Ia=1/D*(ZZGc+Zbcca)(Ea−Eb
     +(ZZGb+Zabbc)(Ea−Ec))
 Ib=1/D*(ZZGa+Zcaab)(Eb−Ec
     +(ZZGc+Zbcca)(Eb−Ea))
 Ic=1/D*(ZZGb+Zabbc)(Ec−Ea
     +(ZZGa+Zcaab)(Ec−Eb))
ただし、D=Z(ZGaGb+ZGbGc+ZGcGa) +Zabbc/Z*(ZGc+ZGa)+Zcaab/Z*(ZGb+ZGc)+Zbcca/Z*(ZGa+ZGb)+Zabbcca/Z)

さて、Δ型負荷とY型負荷で、任意のEa、Eb、Ec、ZGa、ZGb、ZGcに対して すべての線電流を等しくできるようなZa、Zb、ZcとZab、Zbc、Zcaの変換が存在すれば、 Δ接続とY接続の負荷は、交互に変換できる。このための条件を求める。

条件より、Iaが等しいとおいて、
1/(ZGa+Za)*((Ea−Eb)/(ZGb+Zb)+(Ea−Ec)/(ZGc+Zc)) /(1/(ZGa+Za)+1/(ZGb+Zb)+1/(ZGc+Zc)) =1/D*(ZZGc+Zbcca)(Ea−Eb) +(ZZGb+Zabbc)(Ea−Ec))

a−Ebの係数を比較すれば、
1/(ZGa+Za)(ZGb+Zb)(1/(ZGa+Za)+1/(ZGb+Zb)+1/(ZGc+Zc))
=1/D*(ZZGc+Zbcca

(ZGc+Zc)/((ZGc+Zc)(ZGa+Za)+(ZGb+Zb)(ZGc+Zc)+(ZGa+Za)(ZGb+Zb))
=Z(ZGc+Zbcca/Z)/(Z(ZGaGb+ZGbGc+ZGcGa +Zabbc/Z*(ZGc+ZGa)+Zcaab/Z*(ZGb+ZGc)+Zbcca/Z*(ZGa+ZGb)+Zabbcca/Z)

(ZGc+Zc)/((ZGc+Zc)(ZGa+Za)+(ZGb+Zb)(ZGc+Zc)+(ZGa+Za)(ZGb+Zb))
=(ZGc+Zbcca/Z)/(ZGaGb+ZGbGc+ZGcGa +Zabbc/Z*(ZGc+ZGa)+Zcaab/Z*(ZGb+ZGc)+Zbcca/Z*(ZGa+ZGb)+Zabbcca/Z)

(ZGc+Zc)/(ZGaGb+ZGbGc+ZGcGa +ZGa(Zb+Zc)+ZGb(Zc+Za)+ZGc(Za+Zb) +Zab+Zbc+Zca
=(ZGc+Zbcca/Z)/(ZGaGb+ZGbGc+ZGcGa +Zabbc/Z*(ZGc+ZGa)+Zcaab/Z*(ZGb+ZGc)+Zbcca/Z*(ZGa+ZGb)+Zabbcca/Z)

ゆえに、等式が成り立つ為には、
c=Zbcca/Z  @
b+Zc=Zabbc/Z+Zbcca/Z  A
c+Za=Zbcca/Z+Zcaab/Z  B
a+Zb=Zcaab/Z+Zabbc/Z  C
ab+Zbc+Zca=Zabbcca/Z  D
@〜B式より、(Z=Zab+Zbc+Zcaで戻して、)
a=Zcaab/(Zab+Zbc+Zca
b=Zabbc/(Zab+Zbc+Zca
c=Zbcca/(Zab+Zbc+Zca
これらの関係は、C、D式も満足する。
aのEa−Ecの係数や、I、Icによっても同様の関係が得られる。
ゆえに、上式にしたがって、Δ型のインピーダンスは、Y型のインピーダンスに変換される。
上の式は、Y型接続のインピーダンスは、対応する相の両側のΔ型接続のインピーダンスの積をΔ型接続のインピーダンスの総和で割れば得られることを表す。

Dの右辺は、Zbca、Zcab、Zabcと変形されるので、 (例えば、Zcaab/(Zab+Zbc+Zca)=Zaを代入すれば、Zbcaになる。)
ab+Zbc+Zca
=Zbca
=Zcab
=Zabc
1行目と2行目より、
bca=Zab+Zbc+Zca
bc=(Zab+Zbc+Zca)/Za
    =(Ya+Yb+Yc)/Ybc
 (Ya=1/Za、Yb=1/Zb、Yc=1/Zcとおいた)

bc=1/Zbc=Ybc/(Ya+Yb+Yc
同様にして、
1行目と3行目より、
ca=Yca/(Ya+Yb+Yc
1行目と4行目より、
ab=Yab/(Ya+Yb+Yc
ゆえに、上式にしたがって、Y型のアドミタンスは、Δ型のアドミタンスに変換される。(Z→Yに変えただけで式の形はΔ→Yの変換と同じ)
上の式は、Δ型接続のアドミタンスは、対応する両側の相のY型接続のアドミタンスの積をY型接続のアドミタンスの総和で割れば得られることを表す。


これでこの項目は終わり

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