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電源のΔ−Y変換


 右の星型接続された負荷に下のようなY型、Δ型の電源をそれぞれつないだ時の 線電流を求める。(添え字のgi(i=a,b,c)は電源の内部インピーダンスをli(i=a,b,c)は線路インピーダンスを表す。)
a+Zla→Za、Zb+Zlb→Zb、Zc+Zlc→Zc とおく。
枝電流における解き方を参考にできて、次のように求まる。
a=1/(Zga+Za)*((Ea−Eb)/(Zgb+Zb)+(Ea−Ec)/(Zgc+Zc)) /(1/(Zga+Za)+1/(Zgb+Zb)+1/(Zgc+Zc))
b=1/(Zgb+Zb)*((Eb−Ea)/(Zga+Za)+(Eb−Ec)/(Zgc+Zc)) /(1/(Zga+Za)+1/(Zgb+Zb)+1/(Zgc+Zc))
c=1/(Zgc+Zc)*((Ec−Ea)/(Zga+Za)+(Ec−Eb)/(Zgb+Zb)) /(1/(Zga+Za)+1/(Zgb+Zb)+1/(Zgc+Zc))
a+Zla→Za、Zb+Zlb→Zb、Zc+Zlc→Zc とおく。
ループ電流における解き方を参考にできて、次のように求まる。
Z=ZGab+ZGbc+ZGcaとして、
D=Z(Zab+Zbc+Zca) +ZGabGbc(Zc+Za)+ZGcaGab(Zb+Zc)+ZGbcGca(Za+Zb)+ZGabGbcGca
とおけば、
 Ia=1/D*((ZGbc+ZGca)Zc+ZGcab+ZGbcGca)Eab
     +(ZbGca−ZcGab)Ebc −((ZGab+ZGbc)Zb+ZGabc+ZGabGbc)Eca
 Ib=1/D*((ZGca+ZGab)Za+ZGabc+ZGcaGab)Ebc
     +(ZcGab−ZaGbc)Eca −((ZGbc+ZGca)Zc+ZGbca+ZGbcGca)Eab
 Ic=1/D*((ZGab+ZGbc)Zb+ZGbca+ZGabGbc)Eca
     +(ZaGbc−ZbGca)Eab −((ZGca+ZGab)Za+ZGcab+ZGcaGab)Ebc

さて、Δ型電源とY型電源で、任意のZa、Zb、Zcに対してすべての線電流を等しくできるような Ea、Eb、EcとEab、Ebc、Ecaの変換が存在すれば、 Δ接続とY接続の電源は、交互に変換できる。このための条件を求める。

条件より、Iaが等しいとおいて、
1/(Zga+Za)*((Ea−Eb)/(Zgb+Zb)+(Ea−Ec)/(Zgc+Zc)) /(1/(Zga+Za)+1/(Zgb+Zb)+1/(Zgc+Zc))
=1/D*((ZGbc+ZGca)Zc+ZGcab+ZGbcGca)Eab +(ZbGca−ZcGab)Ebc −((ZGab+ZGbc)Zb+ZGabc+ZGabGbc)Eca

((Zgc+Zc)(Ea−Eb)+(Zgb+Zb)(Ea−Ec)) /((Zga+Za)(Zgb+Zb)+(Zgb+Zb)(Zgc+Zc)+(Zgc+Zc)(Zga+Za))
=1/D*((ZGbc+ZGca)Zc+ZGcab+ZGbcGca)Eab +(ZbGca−ZcGab)Ebc −((ZGab+ZGbc)Zb+ZGabc+ZGabGbc)Eca

((Zgc+Zc)(Ea−Eb)+(Zgb+Zb)(Ea−Ec)) /(Zab+Zbc+Zca+Za(Zgb+Zgc) +Zb(Zgc+Zga)+Zc(Zga+Zgb)+ Zgagb+Zgbgc+Zgcga
=((ZGbc+ZGca)Zc+ZGcab+ZGbcGca)Eab/Z +(ZbGca−ZcGab)Ebc/Z −((ZGab+ZGbc)Zb+ZGabc+ZGabGbc)Eca)/Z /(Zab+Zbc+Zca +ZGabGbc/Z*(Zc+Za)+ZGcaGab/Z*(Zb+Zc) +ZGbcGca/Z*(Za+Zb)+ZGabGbcGca/Z)

(Zc(Ea−Eb)+Zb(Ea−Ec) +Zgc(Ea−Eb)+Zgb(Ea−Ec)) /(Zab+Zbc+Zca+Za(Zgb+Zgc) +Zb(Zgc+Zga)+Zc(Zga+Zgb) +Zgagb+Zgbgc+Zgcga
=(((ZGbc+ZGca)Eab−ZGabbc−ZGabca)/Z*Zc +(ZGcaab+ZGcabc−(ZGab+ZGbc)Eca)/Z*Zb +(ZGbcGcaab−ZGabGbcca)/Z) /(Zab+Zbc+Zca +Za(ZGabGbc+ZGbcGca)/Z+Zb(ZGcaGab+ZGbcGca)/Z +Zc(ZGabGbc+ZGcaGab)/Z+ZGabGbcGca/Z)

さて、両辺が任意のZa、Zb、Zcに対して恒等的に等しい為には、
a−Eb=((ZGbc+ZGca)Eab−ZGabbc−ZGabca)/Z  @
a−Ec=(ZGcaab+ZGcabc−(ZGab+ZGbc)Eca)/Z  A
gc(Ea−Eb)+Zgb(Ea−Ec)) =(ZGbcGcaab−ZGabGbcca)/Z  B
gb+Zgc=(ZGbcGca+ZGabGbc)/Z  C
gc+Zga=(ZGcaGab+ZGbcGca)/Z  D
ga+Zgb=(ZGabGbc+ZGcaGab)/Z  E
gagb+Zgbgc+Zgcga)=ZGabGbcGca/Z  F
が成立すればよい。

 C〜F式は、負荷のΔ−Y変換と同一の関係を与える(例えば、C〜EをたしてCを引く)。
B式は、@、Aと負荷のΔ−Y変換変換によって、恒等的に成り立つ。
@、A式において、
a=(ZGcaab−ZGabca)/Z
b=(ZGabbc−ZGbcab)/Z
c=(ZGbcca−ZGcabc)/Z
とおけば良いことが分かる。Ib、Icに関しても同様の関係が得られる。よって、

電源に対して、

a=(ZGcaab−ZGabca)/(ZGab+ZGbc+ZGca
b=(ZGabbc−ZGbcab)/(ZGab+ZGbc+ZGca
c=(ZGbcca−ZGcabc)/(ZGab+ZGbc+ZGca
負荷に対して、(負荷のΔ−Y変換と同じ結果)
ga=ZGcaGab)/(ZGab+ZGbc+ZGca
gb=ZGabGbc)/(ZGab+ZGbc+ZGca
gc=ZGbcGca)/(ZGab+ZGbc+ZGca
によって、内部インピーダンスを持つΔ型接続された電源は、Y型接続へ変換される。


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