さて、Δ型電源とY型電源で、任意のZa、Zb、Zcに対してすべての線電流を等しくできるような Ea、Eb、EcとEab、Ebc、Ecaの変換が存在すれば、 Δ接続とY接続の電源は、交互に変換できる。このための条件を求める。
条件より、Iaが等しいとおいて、
1/(Zga+Za)*((Ea−Eb)/(Zgb+Zb)+(Ea−Ec)/(Zgc+Zc))
/(1/(Zga+Za)+1/(Zgb+Zb)+1/(Zgc+Zc))
=1/D*((ZGbc+ZGca)Zc+ZGcaZb+ZGbcZGca)Eab
+(ZbZGca−ZcZGab)Ebc
−((ZGab+ZGbc)Zb+ZGabZc+ZGabZGbc)Eca)
((Zgc+Zc)(Ea−Eb)+(Zgb+Zb)(Ea−Ec))
/((Zga+Za)(Zgb+Zb)+(Zgb+Zb)(Zgc+Zc)+(Zgc+Zc)(Zga+Za))
=1/D*((ZGbc+ZGca)Zc+ZGcaZb+ZGbcZGca)Eab
+(ZbZGca−ZcZGab)Ebc
−((ZGab+ZGbc)Zb+ZGabZc+ZGabZGbc)Eca)
((Zgc+Zc)(Ea−Eb)+(Zgb+Zb)(Ea−Ec))
/(ZaZb+ZbZc+ZcZa+Za(Zgb+Zgc)
+Zb(Zgc+Zga)+Zc(Zga+Zgb)+
ZgaZgb+ZgbZgc+ZgcZga)
=((ZGbc+ZGca)Zc+ZGcaZb+ZGbcZGca)Eab/Z
+(ZbZGca−ZcZGab)Ebc/Z
−((ZGab+ZGbc)Zb+ZGabZc+ZGabZGbc)Eca)/Z
/(ZaZb+ZbZc+ZcZa
+ZGabZGbc/Z*(Zc+Za)+ZGcaZGab/Z*(Zb+Zc)
+ZGbcZGca/Z*(Za+Zb)+ZGabZGbcZGca/Z)
(Zc(Ea−Eb)+Zb(Ea−Ec)
+Zgc(Ea−Eb)+Zgb(Ea−Ec))
/(ZaZb+ZbZc+ZcZa+Za(Zgb+Zgc)
+Zb(Zgc+Zga)+Zc(Zga+Zgb)
+ZgaZgb+ZgbZgc+ZgcZga)
=(((ZGbc+ZGca)Eab−ZGabEbc−ZGabEca)/Z*Zc
+(ZGcaEab+ZGcaEbc−(ZGab+ZGbc)Eca)/Z*Zb
+(ZGbcZGcaEab−ZGabZGbcEca)/Z)
/(ZaZb+ZbZc+ZcZa
+Za(ZGabZGbc+ZGbcZGca)/Z+Zb(ZGcaZGab+ZGbcZGca)/Z
+Zc(ZGabZGbc+ZGcaZGab)/Z+ZGabZGbcZGca/Z)
さて、両辺が任意のZa、Zb、Zcに対して恒等的に等しい為には、
Ea−Eb=((ZGbc+ZGca)Eab−ZGabEbc−ZGabEca)/Z @
Ea−Ec=(ZGcaEab+ZGcaEbc−(ZGab+ZGbc)Eca)/Z A
Zgc(Ea−Eb)+Zgb(Ea−Ec))
=(ZGbcZGcaEab−ZGabZGbcEca)/Z B
Zgb+Zgc=(ZGbcZGca+ZGabZGbc)/Z C
Zgc+Zga=(ZGcaZGab+ZGbcZGca)/Z D
Zga+Zgb=(ZGabZGbc+ZGcaZGab)/Z E
ZgaZgb+ZgbZgc+ZgcZga)=ZGabZGbcZGca/Z F
が成立すればよい。
C〜F式は、負荷のΔ−Y変換と同一の関係を与える(例えば、C〜EをたしてCを引く)。
B式は、@、Aと負荷のΔ−Y変換変換によって、恒等的に成り立つ。
@、A式において、
Ea=(ZGcaEab−ZGabEca)/Z
Eb=(ZGabEbc−ZGbcEab)/Z
Ec=(ZGbcEca−ZGcaEbc)/Z
とおけば良いことが分かる。Ib、Icに関しても同様の関係が得られる。よって、
電源に対して、
Ea=(ZGcaEab−ZGabEca)/(ZGab+ZGbc+ZGca)
Eb=(ZGabEbc−ZGbcEab)/(ZGab+ZGbc+ZGca)
Ec=(ZGbcEca−ZGcaEbc)/(ZGab+ZGbc+ZGca)
負荷に対して、(負荷のΔ−Y変換と同じ結果)
Zga=ZGcaZGab)/(ZGab+ZGbc+ZGca)
Zgb=ZGabZGbc)/(ZGab+ZGbc+ZGca)
Zgc=ZGbcZGca)/(ZGab+ZGbc+ZGca)
によって、内部インピーダンスを持つΔ型接続された電源は、Y型接続へ変換される。