'98　05/08 レポート　（作成中）

右に示されるような方形の周期Ｔの電圧Ｖ（ｔ）がある。以下について考える。

�@　Ｔ₁＝Ｔ／２のとき、Ｖ（ｔ）をフーリエ変換（正弦波で分解）する。

Ｖ（ｔ）＝−Ｖ（−ｔ）より、この電圧波形は奇関数である。よって、ω＝２π／Ｔとして、
　Ｖ（ｔ）＝ΣＶ_nｓｉｎ（ｎωｔ）；（ｎ：自然数）
とかける。
　Ｖ_n＝２／Ｔ・∫（Ｖ（ｔ）ｓｉｎ（ｎωｔ））ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ）
　　　　＝２／Ｔ・（∫（Ｅｓｉｎ（ｎωｔ））ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ₁）＋∫（−Ｅｓｉｎ（ｎωｔ））ｄｔ；（ｔ：Ｔ₁〜Ｔ））
　　　　＝２Ｅ／Ｔ・（［１／ｎω・（−ｃｏｓ（ｎωｔ））］；（ｔ：０〜Ｔ／２）−［１／ｎω・（−ｃｏｓ（ｎωｔ））］；（ｔ：Ｔ／２〜Ｔ））
　　　　＝２Ｅ／ｎωＴ・（（１−ｃｏｓ（ｎωＴ／２））−（−ｃｏｓ（ｎωＴ）＋ｃｏｓ（ｎωＴ／２）））
　　　　＝２Ｅ／ｎ２π・（（１−ｃｏｓ（ｎπ））−（−ｃｏｓ（２πｎ）＋ｃｏｓ（ｎπ）））
　　　　＝２Ｅ／ｎπ・（１−（−１）ⁿ）

　ｎ；奇数　Ｖ_n＝４Ｅ／ｎπ、　ｎ；偶数　Ｖ_n＝０　となる。式で表せば、
　Ｖ（ｔ）＝４Ｅ／πΣ１／ｎ・ｓｉｎ（ｎωｔ）；（ｎ：正の奇数）
　　　　　＝４Ｅ／π・（ｓｉｎ（ωｔ）＋１／３・ｓｉｎ（３ωｔ）＋１／５・ｓｉｎ（５ωｔ）＋１／７・ｓｉｎ（７ωｔ）＋・・・）

�A　�@においてＶ（ｔ）の実効値|Ｖ|を求める。

　|Ｖ|²＝１／Ｔ・∫Ｖ（ｔ）²ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ）
　　　　　　　　＝１／Ｔ・（∫Ｅ²ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ／２）＋∫（−Ｅ）²ｄｔ；（ｔ：Ｔ／２〜Ｔ））
　　　　　　　　＝Ｅ²
よって、
|Ｖ|＝Ｅ

別解　フーリエ級数展開した結果を使えば、
　|Ｖ|²＝（４Ｅ／π）²Σ（１／ｎ）²／２；（ｎ：正の奇数）
　　　　　＝８（Ｅ／π）²・（１＋１／３²＋１／５²＋１／７²＋・・・）
よって、
|Ｖ|＝（４Ｅ／π�浮Q）・�普i１＋１／３²＋１／５²＋１／７²＋・・・）

オマケ　上の二つの|Ｖ|²は同じ値であるから、
　１＋１／３²＋１／５²＋１／７²＋・・・＝π²／８

�B　�@の電圧が右の回路に印加された時、ｉ（ｔ）を求める。ただし、ｉ（０）＝０

　Ｖ（ｔ）＝Ｌｄｉ（ｔ）／ｄｔ　、ｉ（０）＝０なので、ｔ＝τにおける電流ｉ（τ）は、
　ｉ（τ）＝１／Ｌ・∫Ｖ（ｔ）ｄｔ；（ｔ：０〜τ）　で得られる。

　０＜τ＜Ｔ／２のとき
　ｉ（τ）＝１／Ｌ・∫Ｖ（ｔ）ｄｔ；（ｔ：０〜τ）
　　　　＝１／Ｌ・∫Ｅｄｔ；（ｔ：０〜τ）
　　　　＝Ｅ／Ｌ・τ

　Ｔ／２＜τ＜Ｔのとき
　ｉ（τ）＝１／Ｌ・∫Ｖ（ｔ）ｄｔ；（ｔ：０〜τ）
　　　　＝１／Ｌ・（∫Ｅｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ／２）＋∫−Ｅｄｔ；（ｔ：Ｔ／２〜τ））
　　　　＝１／Ｌ・（ＥＴ／２−Ｅ（τ−Ｔ／２））
　　　　＝Ｅ／Ｌ・（Ｔ−τ）

　Ｔだけ時間をずらせた時の電流ｉ（τ＋Ｔ）について考える。
　０＜τ＜Ｔ／２のとき
　ｉ（τ＋Ｔ）＝１／Ｌ・∫Ｖ（ｔ）ｄｔ；（ｔ：０〜τ＋Ｔ）
　　　　＝１／Ｌ・（∫Ｖ（ｔ）ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ）＋∫Ｖ（ｔ）ｄｔ；（ｔ：Ｔ〜τ＋Ｔ））
　　　　＝ｉ（Ｔ）＋１／Ｌ・∫Ｅｄｔ；（ｔ：Ｔ〜τ＋Ｔ））
　　　　＝Ｅ／Ｌ・τ　（すぐ前で求めたように、ｉ（Ｔ）＝０）
　　　　＝ｉ（τ）
　Ｔ／２＜τ＜Ｔのとき
　ｉ（τ＋Ｔ）＝１／Ｌ・∫Ｖ（ｔ）ｄｔ；（ｔ：０〜τ＋Ｔ）
　　　　＝１／Ｌ・（∫Ｖ（ｔ）ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ＋Ｔ／２）＋∫Ｖ（ｔ）ｄｔ；（ｔ：Ｔ＋Ｔ／２〜τ＋Ｔ））
　　　　＝ｉ（Ｔ＋Ｔ／２）＋１／Ｌ・∫−Ｅｄｔ；（ｔ：Ｔ＋Ｔ／２〜τ＋Ｔ））
　　　　＝Ｅ／Ｌ・Ｔ／２−Ｅ／Ｌ・（τ−Ｔ／２）　（すぐ前で求めたように、ｉ（Ｔ＋Ｔ／２）＝ｉ（Ｔ／２）＝Ｅ／Ｌ・Ｔ／２）
　　　　＝Ｅ／Ｌ・（Ｔ−τ）
　　　　＝ｉ（τ）
　これを繰り返せば、ｉ（τ＋ｎＴ）＝ｉ（τ）、ｉ（τ）は周期Ｔの関数であることが分かる。

これを図示すれば、右のグラフの赤線のようになる。

別解　フーリエ級数展開した結果を使えば、
　ｉ（τ）＝１／Ｌ・∫Ｖ（ｔ）ｄｔ；（ｔ：０〜τ）
　　　　　＝１／Ｌ・∫（４Ｅ／πΣ１／ｎ・ｓｉｎ（ｎωｔ）；（ｎ：正の奇数））ｄｔ；（ｔ：０〜τ）
　　　　　＝４Ｅ／πＬ・Σ∫（１／ｎ・ｓｉｎ（ｎωｔ））ｄｔ；（ｔ：０〜τ）；（ｎ：正の奇数））
　　　　　＝４Ｅ／πＬ・Σ［−１／ｎ・１／ｎω・ｃｏｓ（ｎωｔ）］；（ｔ：０〜τ）；（ｎ：正の奇数））
　　　　　＝４Ｅ／πＬ・Σ−１／ｎ²ω・（ｃｏｓ（ｎωτ）−１）；（ｎ：正の奇数）
　　　　　＝４Ｅ／πωＬ・Σ１／ｎ²・（１−ｃｏｓ（ｎωτ））；（ｎ：正の奇数）
　　　　　＝２ＥＴ／π²Ｌ・Σ１／ｎ²・（１−ｃｏｓ（ｎωτ））；（ｎ：正の奇数）
Σ１／ｎ²；（ｎ：正の奇数）＝π²／８を使えば、
　ｉ（τ）＝ＥＴ／４Ｌ−２ＥＴ／π²Ｌ・Σ１／ｎ²・ｃｏｓ（ｎωτ）；（ｎ：正の奇数）

オマケ先に求めた電流をフーリエ級数分解すると上の式になるはずである。（確かめる）
ｉ（τ）は、ｉ（τ）＝ｉ（−τ）より、偶関数である。よって、次のように展開される。
ｉ（τ）＝ｉ₀＋Σｉ_nｃｏｓ（ｎωτ）；（ｎ：自然数）

　　　ｉ₀＝１／Ｔ・∫ｉ（τ）ｃｏｓ（ｎωτ）ｄτ；（τ：０〜Ｔ）
　　　ｉ_n＝２／Ｔ・∫ｉ（τ）ｃｏｓ（ｎωτ）ｄτ；（τ：０〜Ｔ）

　　　ｉ_n＝２／Ｔ・（∫Ｅ／Ｌ・τｃｏｓ（ｎωτ）ｄτ；（τ：０〜Ｔ／２）＋∫Ｅ／Ｌ・（Ｔ−τ）ｃｏｓ（ｎωτ）ｄτ；（τ：Ｔ／２〜Ｔ））
第２項において、Ｔ−τ＝ｔと置けば、
∫Ｅ／Ｌ・（Ｔ−τ）ｃｏｓ（ｎωτ）ｄτ；（τ：Ｔ／２〜Ｔ）＝∫Ｅ／Ｌ・ｔｃｏｓ（ｎω（Ｔ−ｔ））ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ／２）
　　　　　　　　＝∫Ｅ／Ｌ・ｔｃｏｓ（ｎω（ｔ−Ｔ）ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ／２）
　　　　　　　　＝∫Ｅ／Ｌ・ｔｃｏｓ（ｎωｔ−ｎωＴ）ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ／２）
　　　　　　　　＝∫Ｅ／Ｌ・ｔｃｏｓ（ｎωｔ）ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ／２）　（ｎωＴ＝２πｎなので）
　ゆえに、第２項は、第１項と同じ値になる。よって、
　　　ｉ_n＝２／Ｔ・（２∫Ｅ／Ｌ・τｃｏｓ（ｎωτ）ｄτ；（τ：０〜Ｔ／２））
　　　　　　　＝４Ｅ／ＴＬ・（∫・τｃｏｓ（ｎωτ）ｄτ；（τ：０〜Ｔ／２））
　　　　　　　＝４Ｅ／ＴＬ・（［τ／ｎω・ｓｉｎ（ｎωτ）］；（τ：０〜Ｔ／２）−∫１／ｎω・ｓｉｎ（ｎωτ）ｄτ；（τ：０〜Ｔ／２））
　　　　　　　＝４Ｅ／ＴＬ・（−１／（ｎω）²・［−ｃｏｓ（ｎωτ）］；（τ：０〜Ｔ／２））　（第１項は０になる）
　　　　　　　＝４Ｅ／ＴＬ（ｎω）²・（ｃｏｓ（ｎπ）−１）
　　　　　　　＝ＥＴ／Ｌ（πｎ）²・（ｃｏｓ（ｎπ）−１）
　　　　　　　＝−２ＥＴ／Ｌ（πｎ）²；（ｎ：奇数）、　０；（ｎ：偶数）　

　ｉ₀＝１／Ｔ・∫ｉ（τ）ｃｏｓ（ｎωτ）ｄτ；（τ：０〜Ｔ）
　　　　　　　＝１／Ｔ・（∫Ｅ／Ｌ・τｄτ；（τ：０〜Ｔ／２）＋∫Ｅ／Ｌ・（Ｔ−τ）ｄτ；（τ：Ｔ／２〜Ｔ））
　　　　　　　＝Ｅ／ＴＬ・（［１／２・τ²］；（τ：０〜Ｔ／２）＋［Ｔτ−１／２・τ²］；（τ：Ｔ／２〜Ｔ））
　　　　　　　＝Ｅ／ＴＬ・（１／２・（Ｔ／２）²）＋（ＴＴ−１／２・Ｔ²）−（ＴＴ／２−１／２・（Ｔ／２）²））
　　　　　　　＝ＥＴ／４Ｌ
　先程の別解と一致する。（同じ量を違う表現で表しただけのことである）

�C　０＜Ｔ₁＜ＴのときＶ（ｔ）をフーリエ分解する。

　Ｖ（ｔ）＝Ｖ₀＋Σ（Ｖ_snｓｉｎ（ｎωｔ）＋Ｖ_cnｃｏｓ（ｎωｔ））；（ｎ：自然数）

　　Ｖ₀＝１／Ｔ・∫Ｖ（ｔ）ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ）
　　　　　＝１／Ｔ・（∫Ｅｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ₁）−∫Ｅｄｔ；（ｔ：Ｔ₁〜Ｔ）
　　　　　＝１／Ｔ・（ＥＴ₁＋Ｅ（Ｔ₁−Ｔ））
　　　　　＝Ｅ（２Ｔ₁／Ｔ−１）

　　Ｖ_sn＝２／Ｔ・∫（Ｖ（ｔ）ｓｉｎ（ｎωｔ））ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ）
　　　　＝２／Ｔ・（∫（Ｅｓｉｎ（ｎωｔ））ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ₁）＋∫（−Ｅｓｉｎ（ｎωｔ））ｄｔ；（ｔ：Ｔ₁〜Ｔ））
　　　　＝２Ｅ／Ｔ・（［−１／ｎω・ｃｏｓ（ｎωｔ）］；（ｔ：０〜Ｔ₁）＋［１／ｎω・ｃｏｓ（ｎωｔ）］；（ｔ：Ｔ₁〜Ｔ））
　　　　＝２Ｅ／Ｔ・（１／ｎω・（１−ｃｏｓ（ｎωＴ₁））＋１／ｎω・（ｃｏｓ（ｎωＴ）−ｃｏｓ（ｎωＴ₁）））
　　　　＝２Ｅ／ｎωＴ・（１−ｃｏｓ（ｎωＴ₁）＋１−ｃｏｓ（ｎωＴ₁））
　　　　＝２Ｅ／ｎπ・（１−ｃｏｓ（ｎωＴ₁））

　　Ｖ_cn＝２／Ｔ・∫（Ｖ（ｔ）ｃｏｓ（ｎωｔ））ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ）
　　　　＝２／Ｔ・（∫（Ｅｃｏｓ（ｎωｔ））ｄｔ；（ｔ：０〜Ｔ₁）＋∫（−Ｅｃｏｓ（ｎωｔ））ｄｔ；（ｔ：Ｔ₁〜Ｔ））
　　　　＝２Ｅ／Ｔ・（［１／ｎω・ｓｉｎ（ｎωｔ）］；（ｔ：０〜Ｔ₁）−［１／ｎω・ｓｉｎ（ｎωｔ）］；（ｔ：Ｔ₁〜Ｔ））
　　　　＝２Ｅ／Ｔ・（１／ｎω・ｓｉｎ（ｎωＴ₁））−１／ｎω・（ｓｉｎ（ｎωＴ）−ｓｉｎ（ｎωＴ₁）））
　　　　＝２Ｅ／ｎωＴ・（ｓｉｎ（ｎωＴ₁））−（−ｓｉｎ（ｎωＴ₁）））
　　　　＝２Ｅ／ｎπ・ｓｉｎ（ｎωＴ₁）

　これらの係数を用いて
　　Ｖ（ｔ）＝Ｅ（２Ｔ₁／Ｔ−１＋ Σ２／ｎπ＊（（１−ｃｏｓ（ｎωＴ₁））ｓｉｎ（ｎωｔ）＋ｓｉｎ（ｎωＴ₁）ｃｏｓ（ｎωｔ））；（ｎ：自然数））

これでこの項目は終わり

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