外積の成分表現より、
Ａ×Ｂ＝（ＡyＢz−ＢyＡz，
ＡzＢx−ＢzＡx，ＡxＢy−ＢxＡy）
これをベクトルの成分に見立てて、rotationをとれば、上の式の左辺になる。
左辺のｘ成分について計算する。
| 左辺のｘ成分＝ | ∂ ∂ｙ | （ＡxＢy−ＢxＡy）− | ∂ ∂ｚ | （ＡzＢx−ＢzＡx） |
| ＝ | ∂Ａx ∂ｙ | Ｂy＋Ａx | ∂Ｂy ∂ｙ |
− | ∂Ｂx ∂ｙ | Ａy−Ｂx | ∂Ａy ∂ｙ |
−（ | ∂Ａz ∂ｚ | Ｂx＋Ａz | ∂Ｂx ∂ｚ |
− | ∂Ｂz ∂ｚ | Ａx−Ｂz | ∂Ａx ∂ｚ | ） |
| ＝ Ｂy | ∂Ａx ∂ｙ | ＋Ｂz | ∂Ａx ∂ｚ |
＋Ａx | ∂Ｂy ∂ｙ | ＋Ａx | ∂Ｂz ∂ｚ |
| −（Ｂx | ∂Ａy ∂ｙ | ＋Ｂx | ∂Ａz ∂ｚ | ） | −（Ａy | ∂Ｂx ∂ｙ | ＋Ａz | ∂Ｂx ∂ｚ | ） |
| ＝ Ｂx | ∂Ａx ∂ｘ | ＋Ｂy | ∂Ａx ∂ｙ |
＋Ｂz | ∂Ａx ∂ｚ | ＋Ａx | ∂Ｂx ∂ｘ |
＋Ａx | ∂Ｂy ∂ｙ | ＋Ａx | ∂Ｂz ∂ｚ |
| −（Ｂx | ∂Ａx ∂ｘ | ＋Ｂx | ∂Ａy ∂ｙ | ＋Ｂx | ∂Ａz ∂ｚ | ） | −（Ａx | ∂Ｂx ∂ｘ | ＋Ａy | ∂Ｂx ∂ｙ |
＋Ａz | ∂Ｂx ∂ｚ | ） |
| ＝ （Ｂx | ∂ ∂ｘ | ＋Ｂy | ∂ ∂ｙ | ＋Ｂz | ∂ ∂ｚ |
）Ａx＋Ａx（ | ∂Ｂx ∂ｘ |
＋ | ∂Ｂy ∂ｙ | ＋ | ∂Ｂz ∂ｚ | ） |
| −Ｂx（ | ∂Ａx ∂ｘ | ＋ | ∂Ａy ∂ｙ |
＋ | ∂Ａz ∂ｚ | ）−（Ａx | ∂ ∂ｘ |
＋Ａy | ∂ ∂ｙ | ＋Ａz | ∂ ∂ｚ | ）Ｂx |
＝ （Ｂ・▽）Ａx＋Ａx（▽・Ｂ） −Ｂx（▽・Ａ）−（Ａ・▽）Ｂx
＝ （▽・Ｂ）Ａx＋（Ｂ・▽）Ａx −（▽・Ａ）Ｂx−（Ａ・▽）Ｂx
これは、右辺のｘ成分と一致している。ｙ，ｚ成分についても同様に計算されるので、上の式が成立することがわかる。