△（ｆ（ｒ）Ａ（ｒ））＝（△（ｆＡx），△（ｆＡy），△（ｆＡz））
ｘ成分について考えると
△（ｆＡx）＝（∂2／∂ｘ2＋∂2／∂ｙ2＋∂2／∂ｚ2）（ｆＡx）
＝∂（（∂ｆ／∂ｘ）Ａx＋ｆ∂Ａx／∂ｘ）／∂ｘ
＋∂（（∂ｆ／∂ｙ）Ａx＋ｆ∂Ａx／∂ｙ）／∂ｙ＋∂（（∂ｆ／∂ｚ）Ａx＋ｆ∂Ａx／∂ｚ）／∂ｚ
＝（∂2ｆ／∂ｘ2）Ａx＋ｆ∂2Ａx／∂ｘ2＋２∂ｆ／∂ｘ*∂Ａx／∂ｘ
＋（∂2ｆ／∂ｙ2）Ａx＋ｆ∂2Ａx／∂ｙ2＋２∂ｆ／∂ｙ*∂Ａx／∂ｙ
＋（∂2ｆ／∂ｚ2）Ａx＋ｆ∂2Ａx／∂ｚ2＋２∂ｆ／∂ｚ*∂Ａx／∂ｚ
＝（∂2ｆ／∂ｘ2＋∂2ｆ／∂ｙ2＋∂2ｆ／∂ｚ2）Ａx
＋ｆ（∂2Ａx／∂ｘ2＋∂2Ａx／∂ｙ2＋∂2Ａx／∂ｚ2
＋２∂ｆ／∂ｘ*∂Ａx／∂ｘ＋２∂ｆ／∂ｙ*∂Ａx／∂ｙ＋２∂ｆ／∂ｚ*∂Ａx／∂ｚ
＝（（∂2／∂ｘ2＋∂2／∂ｙ2＋∂2／∂ｚ2）ｆ）Ａx
＋ｆ（∂2／∂ｘ2＋∂2／∂ｙ2＋∂2／∂ｚ2）Ａx
＋２（∂ｆ／∂ｘ*∂／∂ｘ＋２∂ｆ／∂ｙ*∂／∂ｙ＋２∂ｆ／∂ｚ*∂／∂ｚ）Ａx
＝（△ｆ）Ａx＋ｆ（△Ａx）＋２（▽ｆ・▽）Ａx
これは、右辺のｘ成分と等しい。ｙ，ｚ成分につても同様に計算されるので、上の関係が成り立つ。