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　（自分で）確かめよう　

∂
∂ｔ		Ａ（ｒ（ｔ））＝ ∂Ａ（ｒ）
∂ｒ		　∂ｒ
∂ｔ		 ＝∂Ａ（ｒ）
∂ｒ		　υ（ｔ）
ｒ＝（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ），ｚ（ｔ）），Ａ（ｒ）＝（Ａx（ｒ），Ａy（ｒ），Ａz（ｒ））とおけば、
∂
∂ｔ		Ａ（ｒ（ｔ））＝（ ∂
∂ｔ		Ａｘ（ｒ）， ∂
∂ｔ		Ａｙ（ｒ）， ∂
∂ｔ		Ａｚ（ｒ））
各成分が、ｒ（変数ｘ、ｙ、ｚ）を介して時間ｔの関数であることを考慮して、ｘ成分について考える。
　Ａxは、ｘ、ｙ、ｚを変数とする関数であるから、gradientを参考にして、
　⊿Ａx（ｒ（ｔ））＝▽Ａx・⊿ｒ（ｔ）となる。両辺を⊿ｔで割れば、
⊿Ａx（ｒ（ｔ））
⊿ｔ		＝▽Ａx・⊿ｒ（ｔ）
⊿ｔ
時間に対する偏微分であれば、
∂
∂ｔ		Ａx（ｒ（ｔ））＝▽Ａx・∂ｒ（ｔ）
∂ｔ

　ｙ、ｚ成分についても同様に計算できて、
∂
∂ｔ		Ａｙ（ｒ（ｔ））＝▽Ａｙ・∂ｒ（ｔ）
∂ｔ
∂
∂ｔ		Ａｚ（ｒ（ｔ））＝▽Ａｚ・∂ｒ（ｔ）
∂ｔ

ここで、▽Ａxを１×３のベクトル成分として１行目に、同様に▽Ａy，▽Ａzを２行目、３行目にならべた（下に示す）３×３の行列∂Ａ／∂ｒを考えると ∂Ａx／∂ｔ、∂Ａy／∂ｔ、∂Ａz／∂ｔのベクトル成分は、この行列と３×１のベクトル∂ｒ（ｔ）／∂ｔの積によって、３×１のベクトルとして与えられる。
∂
∂ｔ		Ａ（ｒ（ｔ））＝ ∂Ａ（ｒ）
∂ｒ		　∂ｒ
∂ｔ

　もし位置変数が何物かの位置を表していれば、位置変数の時間微分は、’その物’の速度υを表す。対応する速度をυ（ｔ）とおけば、
∂
∂ｔ		Ａ（ｒ（ｔ））＝ ∂Ａ（ｒ）
∂ｒ		　υ（ｔ）

∂Ａ（ｒ）／∂ｒの成分表示
∂Ａx／∂ｘ∂Ａx／∂ｙ∂Ａx／∂ｚ
∂Ａy／∂ｘ∂Ａy／∂ｙ∂Ａy／∂ｚ
∂Ａz／∂ｘ∂Ａz／∂ｙ∂Ａz／∂ｚ

もし、Ａ（ｒ）がｎ次元のベクトル、引き数ｒがｍ次元のベクトルであれば、∂Ａ（ｒ）／∂ｒは、ｎ×ｍの行列になる。

　

もし、ＡがスカラＡxならば、∂Ａx／∂ｒ＝（∂Ａx／∂ｘ，∂Ａx／∂ｙ，∂Ａx／∂ｚ） ＝▽Ａx（＝gradＡx）であるので、演算子▽（gradient）を∂／∂ｒと表現することもある。


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