外積の成分表現より、
Ｂ×Ｃ＝（ＢyＣz−ＣyＢz、
ＢzＣx−ＣzＢx、ＢxＣy−ＣxＢy）
内積の成分表現より、
Ａ・（Ｂ×Ｃ）＝Ａx（ＢyＣz−ＣyＢz）
＋Ａy（ＢzＣx−ＣzＢx）
＋Ａz（ＢxＣy−ＣxＢy）
＝ＡxＢyＣz＋ＡyＢzＣx＋ＡzＢxＣy
−（ＡxＣyＢz−＋ＡyＣzＢx＋ＡzＣxＢy）
この展開式において、Ａ→Ｂ、Ｂ→Ｃ、Ｃ→Ａと置き換えれば、（上のように成分を計算してもよい（同じ結果になる））
Ｂ・（Ｃ×Ａ）＝Ｂx（ＣyＡz−ＡyＣz）
＋Ｂy（ＣzＡx−ＡzＣx）
＋Ｂz（ＣxＡy−ＡxＣy）
＝ＡxＢyＣz＋ＡyＢzＣx＋ＡzＢxＣy
−（ＡxＣyＢz−＋ＡyＣzＢx＋ＡzＣxＢy）
となり、Ａ・（Ｂ×Ｃ） と同じになる。ゆえに、
Ａ・（Ｂ×Ｃ）＝Ｂ・（Ｃ×Ａ）
同様にして、
Ａ・（Ｂ×Ｃ）＝Ｃ・（Ａ×Ｂ）
も確認される。