ｘｙ平面上の任意の点Ｒxy（Ｒxy＝（ｒx，ｒy））を
原点を中心としてθ回転させた点の座標Ｒuv（Ｒuv＝（ｒu，ｒv））を考える。
点Ｒxyの原点からの距離をｒ、線分ＯＲxyのｘ軸からｙ軸に向かって測ったｘ軸とのなす角をαとおけば、
ｒx＝ｒｃｏｓα、ｒy＝ｒｓｉｎαで与えられる。
座標に対応する単位ベクトルで表せば、ｘｙ座標に対応する単位ベクトルをｅx、ｅyとおいて、
Ｒxy＝ｒxｅx＋ｒyｅy
と表される。また、（ｅu、ｅv、ｅx、ｅyは（座標の方向を表す単位ベクトルというだけでなく）座標で表されるという意味で、ベクトルの変換に対してＲxyと同じに扱ってよいので、）ｅｘ、ｅｙをＲxyと同様にθ回転させたベクトルをｅｕ、ｅｖとおけば、Ｒxy、ｅx、ｅyと同様の関係があるので、
Ｒuv＝ｒxｅu＋ｒyｅv
と表される。図を参考にして、ｅu、ｅvをｅx、ｅyで表せば、
ｅu＝ｃｏｓθｅx＋ｓｉｎθｅy、ｅv＝－ｓｉｎθｅx＋ｃｏｓθｅy
であることが分かる。図より、
Ｒuv＝ｒxｅu＋ｒyｅv
＝ｒx（ｃｏｓθｅx＋ｓｉｎθｅy）＋ｒy（－ｓｉｎθｅx＋ｃｏｓθｅy）
＝ｒuｅx＋ｒvｅy
ｅｘ、ｅｙにかかる係数を比較すれば、
ｒu＝ｃｏｓθｒx－ｓｉｎθｒy＝ｒ（ｃｏｓθｃｏｓα－ｓｉｎθｓｉｎα）
ｒv＝ｓｉｎθｒx＋ｃｏｓθｒy＝ｒ（ｃｏｓθｓｉｎα＋ｓｉｎθｃｏｓα）
変換行列Ｕによって、ｘｙ座標で表現される（ｒu，ｒv）と（ｒx，ｒy）の関係は
のように表現される。
図より、ｒu＝ｒｃｏｓ（α＋θ）、ｒv＝ｒｓｉｎ（α＋θ）と表すことが可能である。ゆえに、
ｒu＝ｒ（ｃｏｓθｃｏｓα－ｓｉｎθｓｉｎα）＝ｒｃｏｓ（α＋θ）
ｒv＝ｒ（ｃｏｓθｓｉｎα＋ｓｉｎθｃｏｓα）＝ｒｓｉｎ（α＋θ）
なる関係があることが分かる。次のような三角関数の和積の関係（公式）が導かれる。
ｃｏｓ（α＋θ）＝ｃｏｓθｃｏｓα－ｓｉｎθｓｉｎα
ｓｉｎ（α＋θ）＝ｃｏｓθｓｉｎα＋ｓｉｎθｃｏｓα
ｅuは、ｅx（＝（１，０））をθ回転、ｅvは、ｅy（＝（０，１））をθ回転させて得られることから点を表すベクトル表現において、位置を表すベクトルの係数は変えずに、座標に対応するベクトルだけ変換すれば、点の回転が得られることが分かる。
（メリーゴーランドの木馬に乗っている人はメリーゴーランドの回転（座標に対応するベクトルの回転）とともに移動する。木馬との位置関係（座標に対応するベクトルにかかる'位置を表すための係数'）は変わらない。）
ｅuの方向にｕ軸を、ｅvの方向にｖ軸を設定したことに相当する。（ｕ軸はｘ軸をθ回転、ｖ軸はｙ軸をθ回転させて得られる。（ｘｙ平面をｚ軸の周りでθ回転させたのがｕｖ座標）ｕｖ座標では、ｘｙ座標の場合と同じ成分として点が与えられる。）
すべての点が、原点に対して同じだけ（θだけ）回転されるので、点の集合がある図形を与えていれば、回転後の図形は回転前と合同である。
複数のベクトルを回転させても、ベクトル相互の関係は不変である。（メリーゴーランドに乗って眺めれば、木馬の位置は不変である。）
三次元空間での回転
ｘｙｚ空間における原点を通る直線を軸にした回転について考える。
先に考えたｘｙ平面における回転を三次元に拡張すると、ｘｙ平面における回転は、ｚ軸の正の方向から原点を眺めたときのｘｙ平面に射影される点の回転に相当する。すなわち、ｚ軸の正の方向から原点を眺めたとき、ｚ軸を回転軸として左回りに回転させる（原点からｚ軸の正の方向を眺めたとき右回りに回転させる）ことになる。
ｚ軸の周りのθ回転を表す行列
同様にｘ軸、ｙ軸の周りの回転を考えると、
ｘ軸周りのθ回転を表す行列
ｙ軸周りのθ回転を表す行列
これらの変換は、回転であるのでベクトル相互の関係は変わらない。一般に、ｅl（＝（ｌx、ｌy、ｌz）
（単位ベクトルであるから、ｌx2＋ｌy2＋ｌz2＝１）の軸の周りのθ回転を考える場合には、ｅlをどれかの座標軸に一致させれば、回転を記述することができる。次の手順で回転を表す行列を求める。
①ｚ軸で回転させて、ｅlをｙｚ平面に移動させる。（回転角をγとする）
②ｘ軸で回転させて、ｅlをｚ軸と一致させる。（回転角をαとする）
③ｚ軸（ｅlと一致している）で任意の点Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ）をθ回転させる。
④ｘ軸で点Ｒを－α回転させる。
⑤ｚ軸で点Ｒを－γ回転させる。
ｚ軸の周りで回転させても、ｚ軸とｅlのなす角は変わらないので、ｚ軸とｅlのなす角はαである。
また、ｅlのｘｙ平面への射影がｙ軸とのなす角がγであるから、αとγを用いれば、
ｌx＝ｓｉｎαｓｉｎγ
ｌy＝ｓｉｎαｃｏｓγ
ｌz＝ｃｏｓα
で与えられる。
①ｚ軸周りの回転なので、
（ｌx、ｌy、ｌz）→（０，（１－ｌz2）1/2，ｌz）
へ変換される。
②ｘ軸周りの回転なので、（０，（１－ｌz2）1/2，ｌz）→（０，０，１）
へ変換される。
ここまでの変換によって、ｅlはｚ軸に一致する。同様の変換を注目する点（ベクトル）にも適用すれば、
点Ｒ（ｘ，ｙ，ｚ）は、①、②の変換によって
まとめれば
で点Ｒ'（ｘ'，ｙ'，ｚ'）へ移される。
ここで、行列Ｔは、ベクトルｅlを（０，０，１）へ移す変換の一つ（変換①②）を表す。
この変換で得られた点Ｒ'をｚ軸に関してθ回転させた点Ｒ''（ｘ''，ｙ''，ｚ''）は次のように表される。
④、⑤の変換も同様に考えて行えば、ｅlを軸としたθ回転後の点Ｒ位置点Ｒ"（ｘ'''，ｙ'''，ｚ'''）は次のように表される。
変換④⑤が、変換①②の逆変換であることを考えると、上の表現は行列Ｔの逆行列によって、
とも与えられる。
となっているはずである。
（ｘ，ｙ，ｚ）→（ｘ'''，ｙ'''，ｚ'''）の変換は次のように表される。
次の行列Ｕによって、ｅlの周りのθ回転が記述されることが分かる。
ただし、μ＝１－ｃｏｓθとおいた。ｌx、ｌy、ｌzであらわせば、
原点を起点とするｅl（＝（ｌx、ｌy、ｌz） （単位ベクトルであるから、ｌx2＋ｌy2＋ｌz2＝１）を軸としたθ回転（ｅlの終点から起点を見たとき左回りの回転を正の方向とする）は、回転前の点をｒ、回転後の点をｒ'とすれば、ｒ'＝Ｕｒで与えられる。もし、ｒで何かの形を与える点の集合が代表されていれば、ｒ'の点の集合で与えられる形はｒの点の集合の与える形と合同となる。（点をｅlに関して同じだけ回転するのであるからあたりまえ）
例えば、（１，１，１）軸を中心とした2π／３回転を表す行列は、（ｌx，ｌy，ｌz）＝（１／３1/2，１／３1/2，１／３1/2）、θ＝2π／３であるから、
であたえられる。実際、この変換を行うとｅx（＝（１，０，０））→ｅy（＝（０，１，０））、ｅy→ｅz（＝（０，０，１））、ｅz→ｅxになることが分かる。