Ｒ（u,v,w）（＝（ｘ（u,v,w）、ｙ（u,v,w）、ｚ（u,v,w）））と表される。 いま、座標軸ｕの方向は、変数ｕのみを変化させたとき（ｖ、ｗは変化させない）点Ｒが変化する方向であるから、
Ｒ（ｕ＋△ｕ、ｖ、ｗ）−Ｒ（ｕ、ｖ、ｗ）（△ｕ→０）の方向と一致する。よって、 ｕ軸方向の単位ベクトルｅuは、次のように与えられる。
座標系を変更する場合、任意のベクトルの成分がどの様に変更されるかについて、先に示した。 そこでは、’任意のベクトルが、各座標軸方向の成分をその座標軸方向の単位ベクトルとかけて、すべての座標成分についてたすことによって表現される’ことを示した。 ここでは、座標軸方向の単位ベクトルがどの様に表されるかを説明する。
いま、x,y,z座標で表される空間に、u,v,wの互いに直交する各座標軸で表される座標を設定する。
x,y,z座標において空間の任意の点がベクトルとしてＲ（＝（x,y,z））で表されれば、同じ点がu,v,w座標において
Ｒ（u,v,w）（＝（ｘ（u,v,w）、ｙ（u,v,w）、ｚ（u,v,w）））と表される。
いま、座標軸ｕの方向は、変数ｕのみを変化させたとき（ｖ、ｗは変化させない）点Ｒが変化する方向であるから、
Ｒ（ｕ＋△ｕ、ｖ、ｗ）−Ｒ（ｕ、ｖ、ｗ）（△ｕ→０）の方向と一致する。よって、
ｕ軸方向の単位ベクトルｅuは、次のように与えられる。
Ｒ（ｕ＋△ｕ、ｖ、ｗ）−Ｒ（ｕ、ｖ、ｗ）を△ｕについて展開すると、変数ｕに関してだけの変位をとることを考慮して、偏微分で表されて、x､y､z成分で表せば、
よって、ｕ軸方向の単位ベクトルｅuは、
となる。
他の座標軸についても同様にして、対応する軸方向の単位ベクトルは、
となる。
座標ベクトル相互の関係は、先の記号を用いて、次のように書ける。
ｖ，ｗについては、これらの式で、ｕ→ｖ、または、ｕ→ｗとおけば得られる。
ここでの考え方は、例えば円柱座標や極座標への変換に応用される。