原点を始点とする任意ベクトルＡのベクトルの表現について考える。
いま、空間にx,y,z軸を決めれば、ベクトルＡは、それぞれの方向の成分として
(Ａx,Ａy,Ａz)と表現される。
それぞれの軸方向の単位ベクトルをｅx,ｅy,ｅz
とすれば、
Ａ=Ａxｅx+Ａyｅy+Ａzｅz
とかける。
それぞれの成分は、内積を使えば、
Ａx=Ａ・ｅx, Ａy=Ａ・ｅy, Ａz=Ａ・ｅz
とかける。
一般に、三次元空間では、３つの互いに直交する単位ベクトルを用いて任意のベクトルをそれぞれの方向の成分に分解できる。
そこで、x,y,z軸に代わる３つの互いに直交する座標軸u,v,w とその単位ベクトル
ｅu,ｅv,ｅw
によってＡを表す。
(ｅu,ｅvに垂直な方向は、二方向あるがそのうち、ｅuからｅvへ右ねじを回して進む方向にｅwを選ぶ（右手系）。)
（ｅx,ｅy,ｅzはどの場所においても変わらないという性質があるが、一般には 任意の点においてベクトルｅuの方向は、その点において変数uのみが増加した(v,wは定数とみなす)時、点が移動してゆく方向に取るので、 変数（座標）の取り方によっては、場所によってｅuの方向は変わる。(例えば、円柱座標や極座標） つまり、一般に点(x,y,z)におけるｅuは、ｅu(x,y,z)(円柱座標ではｅu(φ)、極座標ではｅu(θ,φ)）と書ける。 ｅv,ｅwについても同様のことがいえる。）
Ａ=Ａuｅu+Ａvｅv+Ａwｅw
両辺のｅxとの内積を取れば、
左辺=Ａ・ｅx=Ａx
右辺=Ａuｅu・ｅx+Ａvｅv・ｅx+Ａwｅw・ｅx
=Ａuｕx+Ａvｖx+Ａwｗx
となる。ここで、ｕx、ｖx、ｗxは、それぞれ、ｅu,ｅv,ｅwのx成分を表す。
Ａx=Ａuｕx+Ａvｖx+Ａwｗx
同様に
Ａy=Ａuｕy+Ａvｖy+Ａwｗy
Ａz=Ａuｕz+Ａvｖz+Ａwｗz
と書ける。これが、uvw成分からxyz成分への変換を表す。行列で表せば、
xyz成分からuvw成分への変換は、同様の手続きで、
Ａu=Ａxｘu+Ａyｙu+Ａzｚu
Ａv=Ａxｘv+Ａyｙv+Ａzｚv
Ａw=Ａxｘw+Ａyｙw+Ａzｚw
となる。行列で表せば、
ここで、ｕx=ｅu・ｅx=ｅx・ｅu=ｘuより、
ｕx=ｘuとなることがわかる。この関係は、他の係数についても同様に成り立つ。
成分の変換行列には、
なる関係がある。