位置ｒ（＝（ｘ，ｙ，ｚ））を変数にする関数で各成分が表されるベクトルＦ(=（Ｆx（ｒ）,Ｆy（ｒ）,Ｆz（ｒ））を考える。
ベクトルＦに対して、それぞれの方向成分を対応する変数で偏微分した量の和
∂Ｆx/∂ｘ+∂Ｆy/∂ｙ+∂Ｆz/∂ｚ
をベクトルＦの発散(divergence)と呼び、divＦと表す。 微分演算子∇を使ってあらわせば、発散は、∇とＦの内積で、∇・Ｆ と表せる。
XYZ座標においては、divＦ(=∇・Ｆ)=∂Ｆx/∂ｘ+∂Ｆy/∂ｙ+∂Ｆz/∂ｚ
と表されるが、他の座標系では∇の表現が異なるので、異なる表現になる。
divＦの意味について考える。
空間に密度ρ（ｒ，ｔ）で'何か'（例えば、たばこの煙の粒子）が分布しているとする。（ρは位置と時間の変数で与えられる。）
ここで、時刻ｔからｔ＋⊿ｔにおいて点ｒの⊿ｘ⊿ｙ⊿ｚで囲まれる微小領域内での粒子数の変化⊿ρを考える。
今、たばこの煙のマクロな動き（'ゆらゆらと漂っている煙の動き'や'風に吹かれてゆく煙の動き'）の速度を
ｖ（＝(ｖx,ｖy,ｖz)）
とする。面Ｓに開いた⊿Ｙ⊿Ｚの面を⊿ｔ時間の間に右から左へ抜ける粒子の数ｎxは、通り抜ける体積が、ｖx⊿ｔ⊿Ｙ⊿Ｚであるから、粒子の密度をρとすれば、
ｎx＝ρｖx⊿ｔ⊿ｙ⊿ｚ
で与えられる。今、ρｖxはｘ方向の単位断面積を単位時間当りに（ｘ方向に）流れる粒子の量（粒子流密度）を表す。ｙ，ｚ方向にも粒子流はあるので、それぞれの方向の粒子流密度を成分をとする粒子流密度のベクトル
ｊ（＝(ｊx,ｊy,ｊz)＝ρｖ＝(ρｖx,ρｖy,ρｖz)）
でｎxをあらわせば、ｎx＝ｊx⊿ｔ⊿ｙ⊿ｚとかける。
さて、点ｒに微小な⊿ｘ⊿ｙ⊿ｚなる大きさの直方体を考える。ある時間ｔにおけるこの直方体内部の粒子数を⊿Ｎ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）とし、
⊿ｔ時間後の粒子数⊿Ｎ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ＋⊿ｔ）を求める。直方体を構成するそれぞれの面
Ｓx,Ｓx+⊿x,Ｓy,Ｓy+⊿y,Ｓz,Ｓz+⊿z
を通過する粒子の数をたせば、直方体内の粒子数が得られる。Ｓxを粒子が通過すると粒子数が増加し（直方体に入る方向）、Ｓx+⊿xを粒子が通過すると粒子数が減少するので、（直方体から出る方向）ｘ方向の流れによる粒子の増加は、
ｊx（ｘ，ｙ，ｚ）⊿ｔ⊿ｙ⊿ｚ－ｊx（ｘ+⊿ｘ，ｙ，ｚ）⊿ｔ⊿ｙ⊿ｚとなる。
ｊx（ｘ+⊿ｘ，ｙ，ｚ）を⊿ｘについて展開して一次までを考えれば、
ｊx（ｘ，ｙ，ｚ）⊿ｔ⊿ｙ⊿ｚ+∂ｊx（ｘ，ｙ，ｚ）/∂ｘ*⊿ｘ⊿ｔ⊿ｙ⊿ｚ
となる。ｘ方向の流れによる粒子の増加は、
ｊx（ｘ，ｙ，ｚ）⊿ｔ⊿ｙ⊿ｚ－ｊx（ｘ+⊿ｘ，ｙ，ｚ）⊿ｔ⊿ｙ⊿ｚ＝－∂ｊx（ｘ，ｙ，ｚ）/∂ｘ*⊿ｘ⊿ｔ⊿ｙ⊿ｚ
ｙ，ｚ方向についても同様に考えてすべてたせば、直方体に入る粒子の総和が得られる。これは、次の式で与えられる。
－∂ｊx（ｘ，ｙ，ｚ）/∂ｘ*⊿ｘ⊿ｔ⊿ｙ⊿ｚ－∂ｊy（ｘ，ｙ，ｚ）/∂ｙ*⊿ｙ⊿ｔ⊿ｚ⊿ｘ－∂ｊz（ｘ，ｙ，ｚ）/∂ｚ*⊿ｚ⊿ｔ⊿ｘ⊿ｙ
=－(∂ｊx（ｘ，ｙ，ｚ）/∂ｘ+∂ｊy（ｘ，ｙ，ｚ）/∂ｙ+∂ｊz（ｘ，ｙ，ｚ）/∂ｚ)*⊿ｔ⊿ｘ⊿ｙ⊿ｚ
=-divｊ⊿ｔ⊿ｘ⊿ｙ⊿ｚ(=-∇・ｊ*⊿ｔ⊿ｘ⊿ｙ⊿ｚ)
直方体内部に入ってゆく粒子の数が負の発散で与えられることから、粒子流密度の発散は、（単位体積当りの）外へ出ていく粒子の量を与えることが分かる。
直方体に入る粒子の総和は、⊿Ｎ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ＋⊿ｔ）-⊿Ｎ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）でも与えられるので、
⊿Ｎ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ＋⊿ｔ）-⊿Ｎ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝-∇・ｊ⊿ｔ⊿ｘ⊿ｙ⊿ｚ
⊿Ｎ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ＋⊿ｔ）/⊿ｘ⊿ｙ⊿ｚ-⊿Ｎ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）/⊿ｘ⊿ｙ⊿ｚ＝-∇・ｊ⊿ｔ
⊿Ｎ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）/⊿ｘ⊿ｙ⊿ｚは体積内の粒子数を体積で割るので密度ρに等しい。ゆえに、
ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ＋⊿ｔ）-ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝-∇・ｊ⊿ｔ
ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ＋⊿ｔ）を⊿ｔの一次まで展開すれば、ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）+∂ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）/∂ｔ*⊿ｔなので、
ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ＋⊿ｔ）-ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）＝∂ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）/∂ｔ*⊿ｔ＝-∇・ｊ⊿ｔ
∂ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）/∂ｔ＝-∇・ｊ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
∇・ｊ+∂ρ/∂ｔ＝０ (ｊ＝ρｖ)
これは、ある点において（単位体積当たりの）粒子の生成消滅が無い場合の粒子の増減と粒子の流れの関係（粒子数が不変であること）を表す。連続の式という。（ｊを電流密度、ρを電荷密度とすれば、電荷保存則をあらわす。）
もし、微小直方体内に火のついたたばこがあれば、直方体に入る粒子はなくても、粒子数は増加する。 また、微小直方体内に粒子の吸着剤があれば、出ていく粒子はなくても粒子数は減少する。これらの量は、その場所での粒子の生成消滅に相当する。 単位時間単位体積当りの生成をｇ、消滅をｓとすれば、
∇・ｊ+∂ρ/∂ｔ＝ｇ-ｓ
で与えられる。
点ｒ（＝ｘ，ｙ，ｚ））におけるベクトルｊの方向にｘ軸をとる。 点ｒの近傍で、ｊの方向が変わらなければ、
ｊ（ｒ）＝（ｊx，０，０）、ｊ（ｒ＋⊿ｒ）＝（ｊx（ｒ＋⊿ｒ），０，０）
とＸ軸成分しか存在しない。このときdivｊ=∂ｊx/∂ｘとかける。 これは、ある点（ここではｒ）の近傍でベクトル（ここではｊ）の方向が変わらない時、 発散が、'そのベクトルの方向へ移動したときのベクトルの大きさの変化率をあらわす'ことを示す。
変化率に空間での移動量（ｊの方向への移動量）をかければ、ベクトルの大きさの変化量が得られる。 ｊの方向にｘ軸を選べば、
⊿ｊx＝∂ｊx/∂ｘ⊿ｘ＝divｊ⊿ｘ