円柱座標におけるベクトルＦ（＝（Ｆr，Ｆφ，Ｆz））の発散を求める。
Ｆを単位ベクトルを用いてあらわすと、
Ｆ＝Ｆrｅr+Ｆφｅφ+Ｆzｅz
とかける。
円柱座標では、∇＝（∂/∂ｒ，1/ｒ*∂/∂φ，∂/∂ｚ）であるから、
divＦ=∇・Ｆ=（ｅr∂/∂ｒ+ｅφ1/ｒ*∂/∂φ+ｅz∂/∂ｚ）・ （Ｆrｅr+Ｆφｅφ+Ｆzｅz）
括弧を展開して計算を行なう。
=ｅr∂/∂ｒ・(Ｆrｅr+Ｆφｅφ+Ｆzｅz）
+ｅφ1/ｒ*∂/∂φ・(Ｆrｅr+Ｆφｅφ+Ｆzｅz）
+ｅz∂/∂ｚ・(Ｆrｅr+Ｆφｅφ+Ｆzｅz）
=ｅr∂/∂ｒ・(Ｆrｅr)+ｅr∂/∂ｒ・(Ｆφｅφ)+ｅr∂/∂ｒ・(Ｆzｅz）
+ｅφ1/ｒ*∂/∂φ・(Ｆrｅr)+ｅφ1/ｒ*∂/∂φ・(Ｆφｅφ)+ｅφ1/ｒ*∂/∂φ・(Ｆzｅz）
+ｅz∂/∂ｚ・(Ｆrｅr)+ｅz∂/∂ｚ・(Ｆφｅφ)+ｅz∂/∂ｚ・(Ｆzｅz）
ここで、円柱座標では、単位ベクトルｅr、ｅφがφの関数であることを考えて、微分する必要がある。
=ｅr・ｅr∂Ｆr/∂ｒ+ｅr・ｅφ∂Ｆφ/∂ｒ
+ｅr・ｅz∂Ｆz/∂ｒ
+ｅφ・1/ｒ∂Ｆr/∂φｅr+ｅφ・1/ｒＦr∂ｅr/∂φ
+ｅφ・1/ｒ∂Ｆφ/∂φｅφ+ｅφ・1/ｒＦφ∂ｅφ/∂φ
+ｅφ・1/ｒ∂Ｆz/∂φｅz
+ｅz・ｅr∂Ｆr/∂ｚ+ｅz・ｅφ∂Ｆφ/∂ｚ
+ｅz・ｅz∂Ｆz/∂ｚ
ここで、∂ｅr/∂φ=ｅφ、∂ｅφ/∂φ=-ｅrであることを考えて内積を計算すれば、
=∂Ｆr/∂ｒ+1/ｒＦr+1/ｒ∂Ｆφ/∂φ+∂Ｆz/∂ｚ
ゆえに、
divＦ=∇・Ｆ=∂Ｆr/∂ｒ+1/ｒＦr+1/ｒ∂Ｆφ/∂φ+∂Ｆz/∂ｚ
| ＝ | １ ｒ | ∂（ｒＦｒ） ∂ｒ |
＋ | １ ｒ | ∂Ｆφ ∂φ |
＋ | Ｆｚ ∂ｚ |
これが、円柱座標のdivの表現である。