極座標におけるベクトルＦ（＝（Ｆr，Ｆθ，Ｆφ））の発散を求める。
Ｆを単位ベクトルを用いてあらわすと、
Ｆ＝Ｆrｅr+Ｆθｅθ+Ｆφｅφ
とかける。
極座標では、∇＝（∂/∂ｒ，1/ｒ*∂/∂θ，1/ｒｓｉｎθ*∂/∂φ）であるから、
divＦ=∇・Ｆ=（ｅr∂/∂ｒ+ｅθ1/ｒ*∂/∂θ+ｅφ1/ｒｓｉｎθ*∂/∂φ）・（Ｆrｅr+Ｆθｅθ+Ｆφｅφ）
括弧を展開して計算を行なう。
=ｅr∂/∂ｒ・（Ｆrｅr+Ｆθｅθ+Ｆφｅφ）
+ｅθ1/ｒ*∂/∂θ・（Ｆrｅr+Ｆθｅθ+Ｆφｅφ）
+ｅφ1/ｒｓｉｎθ*∂/∂φ・（Ｆrｅr+Ｆθｅθ+Ｆφｅφ）
=ｅr∂/∂ｒ・(Ｆrｅr)+ｅr∂/∂ｒ・(Ｆθｅθ)+ｅr∂/∂ｒ・(Ｆφｅφ）
+ｅθ1/ｒ*∂/∂θ・(Ｆrｅr)+ｅθ1/ｒ*∂/∂θ・(Ｆθｅθ)+ｅθ1/ｒ*∂/∂θ・(Ｆφｅφ）
+ｅφ1/ｒｓｉｎθ*∂/∂φ・(Ｆrｅr)+ｅφ1/ｒｓｉｎθ*∂/∂φ・(Ｆθｅθ)+ｅφ1/ｒｓｉｎθ*∂/∂φ・(Ｆφｅφ）
ここで、極座標では、単位ベクトルｅr、ｅθ、ｅφがθ、φの関数であることを考えて、微分する必要がある。
=ｅr・ｅr∂Ｆr/∂ｒ+ｅr・ｅθ∂Ｆθ/∂ｒ+ｅr・ｅφ∂Ｆφ/∂ｒ
+ｅθ・1/ｒ*∂Ｆr/∂θｅr+ｅθ・1/ｒ*Ｆr∂ｅr/∂θ
+ｅθ・1/ｒ*∂Ｆθ/∂θｅθ+ｅθ・1/ｒ*Ｆθ∂ｅθ/∂θ
+ｅθ・1/ｒ*∂Ｆφ/∂θｅφ+ｅθ・1/ｒ*Ｆφ∂ｅφ/∂θ
+ｅφ・1/ｒｓｉｎθ*∂Ｆr/∂φｅr+ｅφ・1/ｒｓｉｎθ*Ｆr∂ｅr/∂φ
+ｅφ・1/ｒｓｉｎθ*∂Ｆθ/∂φｅθ+ｅφ・1/ｒｓｉｎθ*Ｆθ∂ｅθ/∂φ
+ｅφ・1/ｒｓｉｎθ*∂Ｆφ/∂φｅφ+ｅφ・1/ｒｓｉｎθ*Ｆφ∂ｅφ/∂φ
ここで、∂ｅr/∂θ=ｅθ、∂ｅr/∂φ=ｓｉｎθｅφ、∂ｅθ/∂θ=-ｅr、∂ｅθ/∂φ=ｃｏｓθｅφ、∂ｅφ/∂φ=-(ｓｉｎθｅr+ｃｏｓθｅθ)であることを考えて内積を計算すれば、
=∂Ｆr/∂ｒ+1/ｒ*Ｆr+1/ｒ*∂Ｆθ/∂θ+1/ｒ*Ｆr+ｃｏｓθ/ｒｓｉｎθ*Ｆθ＋1/ｒｓｉｎθ*∂Ｆφ/∂φ
=∂Ｆr/∂ｒ+2/ｒ*Ｆr+1/ｒ*∂Ｆθ/∂θ+ｃｏｓθ/ｒｓｉｎθ*Ｆθ＋1/ｒｓｉｎθ*∂Ｆφ/∂φ
=1/r2*∂(r2*Ｆr)/∂ｒ+1/ｒｓｉｎθ*∂(ｓｉｎθＦθ)/∂θ＋1/ｒｓｉｎθ*∂Ｆφ/∂φ
ゆえに、
divＦ=∇・Ｆ=∂Ｆr/∂ｒ+2/ｒ*Ｆr+1/ｒ*∂Ｆθ/∂θ+ｃｏｓθ/ｒｓｉｎθ*Ｆθ＋1/ｒｓｉｎθ*∂Ｆφ/∂φ
=1/r2*∂(r2*Ｆr)/∂ｒ+1/ｒｓｉｎθ*∂(ｓｉｎθＦθ)/∂θ＋1/ｒｓｉｎθ*∂Ｆφ/∂φ
これが、極座標のdivの表現である。