円柱座標におけるベクトルＦ（＝（Ｆr，Ｆφ，Ｆz））の回転を求める。
Ｆを単位ベクトルを用いてあらわすと、
Ｆ＝Ｆrｅr+Ｆφｅφ+Ｆzｅz
とかける。
円柱座標では、∇＝（∂/∂ｒ，1/ｒ*∂/∂φ，∂/∂ｚ）であるから、
rotＦ=∇×Ｆ=（ｅr∂/∂ｒ+ｅφ1/ｒ*∂/∂φ+ｅz∂/∂ｚ）× （Ｆrｅr+Ｆφｅφ+Ｆzｅz）
括弧を展開して計算を行なう。
=ｅr∂/∂ｒ×(Ｆrｅr+Ｆφｅφ+Ｆzｅz）
+ｅφ1/ｒ*∂/∂φ×(Ｆrｅr+Ｆφｅφ+Ｆzｅz）
+ｅz∂/∂ｚ×(Ｆrｅr+Ｆφｅφ+Ｆzｅz）
=ｅr∂/∂ｒ×(Ｆrｅr)+ｅr∂/∂ｒ×(Ｆφｅφ)+ｅr∂/∂ｒ×(Ｆzｅz）
+ｅφ1/ｒ*∂/∂φ×(Ｆrｅr)+ｅφ1/ｒ*∂/∂φ×(Ｆφｅφ)+ｅφ1/ｒ*∂/∂φ×(Ｆzｅz）
+ｅz∂/∂ｚ×(Ｆrｅr)+ｅz∂/∂ｚ×(Ｆφｅφ)+ｅz∂/∂ｚ×(Ｆzｅz）
ここで、円柱座標では、単位ベクトルｅr、ｅφがφの関数であることを考えて、微分する必要がある。
=ｅr×ｅr∂Ｆr/∂ｒ+ｅr×ｅφ∂Ｆφ/∂ｒ
+ｅr×ｅz∂Ｆz/∂ｒ
+ｅφ×1/ｒ∂Ｆr/∂φｅr+ｅφ×1/ｒＦr∂ｅr/∂φ
+ｅφ×1/ｒ∂Ｆφ/∂φｅφ+ｅφ×1/ｒＦφ∂ｅφ/∂φ
+ｅφ×1/ｒ∂Ｆz/∂φｅz
+ｅz×ｅr∂Ｆr/∂ｚ+ｅz×ｅφ∂Ｆφ/∂ｚ
+ｅz×ｅz∂Ｆz/∂ｚ
ここで、∂ｅr/∂φ=ｅφ、∂ｅφ/∂φ=-ｅrであることと 互いに平行なベクトルの外積は’０’になることを考えると、
＝ｅr×ｅr∂Ｆr/∂ｒ+ｅr×ｅφ∂Ｆφ/∂ｒ
+ｅr×ｅz∂Ｆz/∂ｒ
+ｅφ×1/ｒ∂Ｆr/∂φｅr+ｅφ×1/ｒＦrｅφ
+ｅφ×1/ｒ∂Ｆφ/∂φｅφ+ｅφ×1/ｒＦφ（−ｅr）
+ｅφ×1/ｒ∂Ｆz/∂φｅz+ｅz×ｅr∂Ｆr/∂ｚ
+ｅz×ｅφ∂Ｆφ/∂ｚ+ｅz×ｅz∂Ｆz/∂ｚ
＝ｅr×ｅφ∂Ｆφ/∂ｒ+ｅr×ｅz∂Ｆz/∂ｒ
+ｅφ×1/ｒ∂Ｆr/∂φｅr+ｅφ×1/ｒＦφ（−ｅr）
+ｅφ×1/ｒ∂Ｆz/∂φｅz+ｅz×ｅr∂Ｆr/∂ｚ+ｅz×ｅφ∂Ｆφ/∂ｚ
＝ｅz∂Ｆφ/∂ｒ−ｅφ∂Ｆz/∂ｒ−ｅz1/ｒ∂Ｆr/∂φ+ｅz×1/ｒＦφ
+ｅr×1/ｒ∂Ｆz/∂φ+ｅφ∂Ｆr/∂ｚ−ｅr∂Ｆφ/∂ｚ
＝ｅr（1/ｒ∂Ｆz/∂φ−∂Ｆφ/∂ｚ）＋ｅφ（∂Ｆr/∂ｚ−∂Ｆz/∂ｒ） ＋ｅz（∂Ｆφ/∂ｒ＋1/ｒＦφ−1/ｒ∂Ｆr/∂φ）
＝ｅr（1/ｒ∂Ｆz/∂φ−∂Ｆφ/∂ｚ）＋ｅφ（∂Ｆr/∂ｚ−∂Ｆz/∂ｒ） ＋ｅz（1/r∂（ｒＦφ）/∂ｒ−1/ｒ∂Ｆr/∂φ）
ゆえに、
rotＦ=∇×Ｆ=ｅr（1/ｒ∂Ｆz/∂φ−∂Ｆφ/∂ｚ）＋ｅφ（∂Ｆr/∂ｚ−∂Ｆz/∂ｒ） ＋ｅz（1/r∂（ｒＦφ）/∂ｒ−1/ｒ∂Ｆr/∂φ）
これが、円柱座標のrotの表現である。