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一変数のスカラの微分 (テーラー展開)

 関数の微小変化を扱う時よく使う関数の近似について説明する。

 一般に変数xの関数f(x)があるとき、

   f(x)=ΣA(i)(x−x0)i;(i=0,1,2,・・・・・)

とあらわすことを考える。

 両辺のn階の微分をとると

 左辺=f(n)(x) (f(n)(x)は、f(x)のxに関するn階微分の関数をあらわす)

 右辺=ΣA(i)i(i-1)(i-2)・・・・(i-n+1)(x−x0)i-n;(i=n,n+1,n+2,・・・・)(i<nの項は'0'になる)

(具体的にかけば)

   =A(n)n!+A(n+1)(n+1)!(x−x0)+A(n+2)(n+2)!/2!(x−x0)2+A(n+3)(n+3)!/3!(x−x0)3+・・・・

 ここで、x=x0を両辺に代入する。

 左辺=f(n)(x0) (f(n)(x0)は、f(x)のxに関するn階微分の関数にx=x0を代入した値をあらわす)

 右辺=A(n)n!

 左辺=右辺より

 A(n)n!=f(n)(x0)

 A(n)=f(n)(x0)/n!

 これを最初の式に代入すれば、

   f(x)=Σf(i)(x0)/i!*(x−x0)i;(i=0,1,2,・・・・) (0!=1,1!=1)

 このようにf(x)を(x−x0)の多項式であらわす時、f(x)をx=x0でテーラー展開するという。

 (もちろんどんな関数でもテーラー展開できるわけではなくテーラー展開できる為には、微分可能でなければならない。)

 例えば、

 exp(x)=Σ1/i!*xi;(i=0,1,2,・・・・)

 sin(x)=Σ(-1)(i-1)/2/i!*xi;(i=1,3,5,7・・・・)

 cos(x)=Σ(-1)i/2/i!*xi;(i=0,2,4,6・・・・)

である。

 変数の微小変化に対する関数の変化を扱う場合には、テーラー展開の一次または二次までの項で関数を近似する場合が多い。

 (テーラー展開においては、微小量のべきで展開することになるので、次数の大きな項ほど、関数の変化に対する寄与は小さくなる)

 一変数の関数ならば、一次の項までテーラー展開すれば、その関数の(その点における)接線をあらわす関数になる。



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