関数の微小変化を扱う時よく使う関数の近似について説明する。
一般に変数ｘの関数ｆ（ｘ）があるとき、
ｆ（ｘ）＝ΣＡ(i)(ｘ−ｘ0)i;(i=0,1,2,・・・・・)
とあらわすことを考える。
両辺のn階の微分をとると
左辺＝ｆ(n)(ｘ) （ｆ(n)(ｘ)は、ｆ（ｘ）のｘに関するn階微分の関数をあらわす）
右辺＝ΣＡ(i)i(i-1)(i-2)・・・・(i-n+1)(ｘ−ｘ0)i-n;(i=n,n+1,n+2,・・・・)(i＜nの項は'0'になる)
（具体的にかけば）
＝Ａ(n)n!+Ａ(n+1)(n+1)!(ｘ−ｘ0)+Ａ(n+2)(n+2)!/2!(ｘ−ｘ0)2+Ａ(n+3)(n+3)!/3!(ｘ−ｘ0)3+・・・・
ここで、ｘ＝ｘ0を両辺に代入する。
左辺＝ｆ(n)(ｘ0) （ｆ(n)(ｘ0)は、ｆ（ｘ）のｘに関するn階微分の関数にｘ＝ｘ0を代入した値をあらわす）
右辺＝Ａ(n)n!
左辺＝右辺より
Ａ(n)n!＝ｆ(n)(ｘ0)
Ａ(n)＝ｆ(n)(ｘ0)/n!
これを最初の式に代入すれば、
ｆ（ｘ）＝Σｆ(i)(ｘ0)/i!*(ｘ−ｘ0)i;(i=0,1,2,・・・・) (0!=1,1!=1)
このようにｆ（ｘ）を(ｘ−ｘ0)の多項式であらわす時、ｆ（ｘ）をｘ＝ｘ0でテーラー展開するという。
（もちろんどんな関数でもテーラー展開できるわけではなくテーラー展開できる為には、微分可能でなければならない。）
例えば、
exp(x)=Σ1/i!*ｘi;(i=0,1,2,・・・・)
sin(x)=Σ(-1)(i-1)/2/i!*ｘi;(i=1,3,5,7・・・・)
cos(x)=Σ(-1)i/2/i!*ｘi;(i=0,2,4,6・・・・)
である。
変数の微小変化に対する関数の変化を扱う場合には、テーラー展開の一次または二次までの項で関数を近似する場合が多い。
（テーラー展開においては、微小量のべきで展開することになるので、次数の大きな項ほど、関数の変化に対する寄与は小さくなる）
一変数の関数ならば、一次の項までテーラー展開すれば、その関数の(その点における）接線をあらわす関数になる。