例として、位置変数（ｘ，ｙ，ｚ）を引き数にする関数ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）を考える。
いま、位置変数ｘ，ｙ，ｚが１つの独立変数ｕの関数として
ｘ（ｕ），ｙ（ｕ），ｚ（ｕ）のように与えられるとき、ｆの微分を考える。
全微分と偏微分で述べたように、ｆの微小変化⊿ｆは、
| ⊿ｆ＝ | ∂ｆ ∂ｘ | ⊿ｘ＋ | ∂ｆ ∂ｙ | ⊿ｙ＋ | ∂ｆ ∂ｚ | ⊿ｚ |
| ⊿ｆ ⊿ｕ | ＝ | ∂ｆ ∂ｘ | ⊿ｘ ⊿ｕ | ＋ | ∂ｆ ∂ｙ | ⊿ｙ ⊿ｕ | ＋ | ∂ｆ ∂ｚ | ⊿ｚ ⊿ｕ |
とすれば、
d ｆd ｕ | ＝ | ∂ｆ ∂ｘ | d ｘd ｕ | ＋ | ∂ｆ ∂ｙ | d ｙd ｕ | ＋ | ∂ｆ ∂ｚ | d ｚd ｕ |
これが、変換された変数による微分を表す。
また、ｘ，ｙ，ｚが、単一変数ｕだけではなくて、複数の独立変数によって表されるときには、
全微分を偏微分に変えて、
| ∂ｆ ∂ｕ | ＝ | ∂ｆ ∂ｘ | ∂ｘ ∂ｕ | ＋ | ∂ｆ ∂ｙ | ∂ｙ ∂ｕ | ＋ | ∂ｆ ∂ｚ | ∂ｚ ∂ｕ |
二つの独立変数ｕ，ｖによって、ｘ（ｕ，ｖ），ｙ（ｕ，ｖ），ｚ（ｕ，ｖ）と表されるときには、
| ∂ｆ ∂ｕ | ＝ | ∂ｆ ∂ｘ | ∂ｘ ∂ｕ | ＋ | ∂ｆ ∂ｙ | ∂ｙ ∂ｕ | ＋ | ∂ｆ ∂ｚ | ∂ｚ ∂ｕ |
| ∂ｆ ∂ｖ | ＝ | ∂ｆ ∂ｘ | ∂ｘ ∂ｖ | ＋ | ∂ｆ ∂ｙ | ∂ｙ ∂ｖ | ＋ | ∂ｆ ∂ｚ | ∂ｚ ∂ｖ |
関数ｆでくくって、記号的に書いて両辺を比較すれば、
| ∂ ∂ｕ | ＝ | ∂ｘ ∂ｕ | ∂ ∂ｘ | ＋ | ∂ｙ ∂ｕ | ∂ ∂ｙ | ＋ | ∂ｚ ∂ｕ | ∂ ∂ｚ |
| ∂ ∂ｖ | ＝ | ∂ｘ ∂ｖ | ∂ ∂ｘ | ＋ | ∂ｙ ∂ｖ | ∂ ∂ｙ | ＋ | ∂ｚ ∂ｖ | ∂ ∂ｚ |
これが変換された変数による微分を表す。変数が増えても同様の表現で表される。（ｕを適当な変数に置き換えるだけのこと）
円柱座標で微分演算を書き直す。ｕ＝ｒ、ｖ＝φ として考える。
ｘ＝ｒcosφ，ｙ＝ｒsinφ より、
∂／∂ｒ＝cosφ∂／∂ｘ＋sinφ∂／∂ｙ
∂／∂φ＝－ｒsinφ∂／∂ｘ＋ｒcosφ∂／∂ｙ
逆に解けば、
∂／∂ｘ＝cosφ∂／∂ｒ－１／ｒ*sinφ∂／∂φ
∂／∂ｙ＝sinφ∂／∂ｒ＋１／ｒ*cosφ∂／∂φ
スカラに対して演算すれば傾き（gradient）を与える演算子（ナブラ：∇）を円柱座標で表してみる。座標ベクトルの変換も考慮して、展開してまとめれば、
∇＝ｅｘ∂／∂ｘ＋ｅｙ∂／∂ｙ＋ｅｚ∂／∂ｚ
＝（cosφｅｒ－sinφｅφ）（cosφ∂／∂ｒ－１／ｒ*sinφ∂／∂φ）
＋（sinφｅｒ＋cosφｅφ）（sinφ∂／∂ｒ＋１／ｒ*cosφ∂／∂φ）＋ｅｚ∂／∂ｚ
＝（cos２φ＋sin２φ）ｅｒ∂／∂ｒ＋１／ｒ*（cos２φ＋sin２φ）ｅφ∂／∂φ＋ｅｚ∂／∂ｚ
＝ｅｒ∂／∂ｒ＋ｅφ１／ｒ*∂／∂φ＋ｅｚ∂／∂ｚ
円柱座標
| ∇＝ | ｅｒ | ∂ ∂ｒ |
＋ｅφ | ∂ ｒ∂φ |
＋ｅｚ | ∂ ∂ｚ |
極座標で微分演算を書き直す。ｕ＝ｒ、ｖ＝θ、ｗ＝φとして考える。
ｘ＝ｒsinθcosφ，ｙ＝ｒsinθsinφ，ｚ＝ｒcosθ より、
∂／∂ｒ＝sinθcosφ∂／∂ｘ＋sinθsinφ∂／∂ｙ＋cosθ∂／∂ｚ
∂／∂θ＝ｒcosθcosφ∂／∂ｘ＋ｒcosθsinφ∂／∂ｙ－ｒsinθ∂／∂ｚ
∂／∂φ＝－ｒsinθsinφ∂／∂ｘ＋ｒsinθcosφ∂／∂ｙ
逆に解けば、
∂／∂ｘ＝sinθcosφ∂／∂ｒ＋１／ｒ*cosθcosφ∂／∂θ－１／ｒsinθ*sinφ∂／∂φ
∂／∂ｙ＝sinθsinφ∂／∂ｒ＋１／ｒ*cosθsinφ∂／∂θ＋１／ｒsinθ*cosφ∂／∂φ
∂／∂ｚ＝cosθ∂／∂ｒ－１／ｒ*sinθ∂／∂θ
スカラに対して演算すれば傾き（gradient）を与える演算子（ナブラ：∇）を極座標で表してみる。座標ベクトルの変換も考慮して、展開してまとめれば、
∇＝ｅｘ∂／∂ｘ＋ｅｙ∂／∂ｙ＋ｅｚ∂／∂ｚ
＝（sinθcosφｅｒ＋cosθcosφｅθ－sinφｅφ）
（sinθcosφ∂／∂ｒ＋１／ｒ*cosθcosφ∂／∂θ－１／ｒsinθ*sinφ∂／∂φ）
＋（sinθsinφｅｒ＋cosθsinφｅθ＋cosφｅφ）
（sinθsinφ∂／∂ｒ＋１／ｒ*cosθsinφ∂／∂θ＋１／ｒsinθ*cosφ∂／∂φ）
＋（cosθｅｒ－sinθｅθ）（cosθ∂／∂ｒ－１／ｒ*sinθ∂／∂θ）
＝ｅｒ∂／∂ｒ＋ｅθ１／ｒ*∂／∂θ＋ｅφ１／ｒsinθ*∂／∂φ
極座標
| ∇＝ | ｅｒ | ∂ ∂ｒ |
＋ｅθ | ∂ ｒ∂θ |
＋ｅφ | ∂ ｒsinθ∂φ |