一般に面は、３次元空間に広がっており、面上の点の集合は、面の存在する空間における点の座標を二つの独立変数で表現することによってえられる。
独立変数を（ｕ，ｖ）で表せば、面上の点Ｒ（＝（ｘ、ｙ、ｚ））は、Ｒ（ｕ，ｖ）とも表されるので、（ｕ，ｖ）の関数とみなせる。
すなわち、位置変数は、Ｒ（ｕ，ｖ）＝（ｘ（ｕ，ｖ），ｙ（ｕ，ｖ），ｚ（ｕ，ｖ）） と表現される。
面上の点は、独立変数ｕ，ｖを変化させることによって移動するので、ｕを△ｕ変化させたときの点Ｒの移動を表すベクトル
∂Ｒ／∂ｕ*△ｕとｖをΔｖ変化させたときの点Ｒの移動を表すベクトル∂Ｒ／∂ｖ*△ｖのそれぞれを辺とする平行四辺形で
微小平面をあらわせば、微小平面の面積△Ｓは、面の法線方向を考慮して、二つのベクトルの外積によってベクトルとして、
△Ｓ＝∂Ｒ／∂ｕ*△ｕ×∂Ｒ／∂ｖ*△ｖ＝∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ*△ｕ△ｖ
で与えられる。よって、スカラＦ（ｘ，ｙ，ｚ）の面積分は、微小量を無限小の極限にして、（△Ｓ→dＳ、△ｕ→dｕ、△ｖ→dｖ）
∫Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）dＳ＝∫Ｆ（ｕ，ｖ）∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ*dｕdｖ
となる。 ∫Ｆ（ｕ，ｖ）∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ*dｕdｖにおいて、
Ｆ（ｕ，ｖ）∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖは、ｕ，ｖに関する（ベクトルの）被積分関数と見なすことができる。
ｅx、ｅy、ｅzは、不変なベクトルであるから、
この積分はそれぞれの成分について行えばよい。∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ を成分で表せば、
∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ ＝（∂ｘ／∂ｕｅx＋∂ｙ／∂ｕｅy＋∂ｚ／∂ｕｅz）× （∂ｘ／∂ｖｅx＋∂ｙ／∂ｖｅy＋∂ｚ／∂ｖｅz）
＝（（∂ｙ／∂ｕ）*（∂ｚ／∂ｖ）−（∂ｚ／∂ｕ）*（∂ｙ／∂ｖ））ｅx ＋（（∂ｚ／∂ｕ）*（∂ｘ／∂ｖ）−（∂ｘ／∂ｕ）*（∂ｚ／∂ｖ））ｅy ＋（（∂ｘ／∂ｕ）*（∂ｙ／∂ｖ）−（∂ｙ／∂ｕ）*（∂ｘ／∂ｖ））ｅz
であるから、記号的に表して（Jacobian（ヤコビアン）という）
（∂ｙ／∂ｕ）*（∂ｚ／∂ｖ）−（∂ｚ／∂ｕ）*（∂ｙ／∂ｖ）＝∂（ｙ，ｚ）／∂（ｕ，ｖ）
（∂ｚ／∂ｕ）*（∂ｘ／∂ｖ）−（∂ｘ／∂ｕ）*（∂ｚ／∂ｖ）＝∂（ｚ，ｘ）／∂（ｕ，ｖ）
（∂ｘ／∂ｕ）*（∂ｙ／∂ｖ）−（∂ｙ／∂ｕ）*（∂ｘ／∂ｖ）＝∂（ｘ，ｙ）／∂（ｕ，ｖ）
とおけば、
dＳ＝（∂（ｙ，ｚ）／∂（ｕ，ｖ）*ｅx＋∂（ｚ，ｘ）／∂（ｕ，ｖ）*ｅy ＋∂（ｘ，ｙ）／∂（ｕ，ｖ）*ｅz）dｕdｖ
dＳ＝（∂（ｙ，ｚ）／∂（ｕ，ｖ）*dｕdｖｅx＋∂（ｚ，ｘ）／∂（ｕ，ｖ）*dｕdｖｅy ＋∂（ｘ，ｙ）／∂（ｕ，ｖ）*dｕdｖｅz）
∫Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）dＳ＝∫Ｆ（ｕ，ｖ）（∂（ｙ，ｚ）／∂（ｕ，ｖ）*ｅx ＋∂（ｚ，ｘ）／∂（ｕ，ｖ）*ｅy＋∂（ｘ，ｙ）／∂（ｕ，ｖ）*ｅz）dｕdｖ
＝∫Ｆ（ｕ，ｖ）∂（ｙ，ｚ）／∂（ｕ，ｖ）*dｕdｖｅx ＋∫Ｆ（ｕ，ｖ）∂（ｚ，ｘ）／∂（ｕ，ｖ）*dｕdｖｅy＋∫Ｆ（ｕ，ｖ）∂（ｘ，ｙ）／∂（ｕ，ｖ）*dｕdｖｅz
となり、スカラの面積分は、一般には上のようなベクトルになることが分かる。
ｅz成分に注目して積分を考える。
ｕ，ｖに関する被積分関数は、
Ｆ（ｕ，ｖ）（（∂ｘ／∂ｕ）*（∂ｙ／∂ｖ）−（∂ｙ／∂ｕ）*（∂ｘ／∂ｖ））となる。
この関数がｕだけを変数に持つ項Ｇuとｖだけを変数に持つ項Ｇvの積に分解できれば、
ｕに関する項とｖに関する項は互いに定数と見なすことができて、ｅz方向の成分は、
∫Ｇu（ｕ）Ｇv（ｖ）dｕdｖ＝∫Ｇu（ｕ）dｕ*∫Ｇv（ｖ）dｖ
となり、二つの線積分の積で与えられる。
また、被積分関数がＦ（ｕ，ｖ）（（∂ｘ／∂ｕ）*（∂ｙ／∂ｖ）−（∂ｙ／∂ｕ）*（∂ｘ／∂ｖ））＝ｄ2Ｆ／ｄｕｄｖ
のようにｕとｖに関する一階づつの微分で与えられれば、ｕ，ｖに関して一回づつ積分すれば面積分が得られる。
スカラとしての面積分
面の大きさによって積分する場合について考える。この積分は、ベクトルとしての面積分において、ベクトルをベクトルの大きさによる
積分に変更すればよい。
先ほどと、同様の手続きにより、空間の各点において値が定義されるスカラ関数Ｆ（Ｒ）があるとする。
同じ空間に面Ｓを考えて、この面を｀平面と見なせるほどの’｀平面内でＦの値が一定と見なせるほどの’微小な領域△Ｓに分割する。
それぞれの微小な領域をその領域上に存在する一つの点で代表させて｀その点におけるＦの値’と｀その点に対応する微小な平面の面積’
との積をすべての指定された領域に存在する微小平面について足しあわせるとき、△Ｓ→０であれば、Ｆを面Ｓについて面積分するという。
（ΔＳ→０でなければ、和をとることになる。）
一般に面は、３次元空間に広がっており、面上の点の集合は、面の存在する空間における点の座標を二つの独立変数で表現することによってえられる。
独立変数を（ｕ，ｖ）で表せば、面上の点Ｒ（＝（ｘ、ｙ、ｚ））は、
Ｒ（ｕ，ｖ）と（ｕ，ｖ）の関数となり、 Ｒ（ｕ，ｖ）＝（ｘ（ｕ，ｖ），ｙ（ｕ，ｖ），ｚ（ｕ，ｖ）） と表現される。
面上の点は、独立変数ｕ，ｖを変化させることによって移動するので、ｕを△ｕ変化させたときの点Ｒの移動を表すベクトル
∂Ｒ／∂ｕ*△ｕとｖをΔｖ変化させたときの点Ｒの移動を表すベクトル∂Ｒ／∂ｖ*△ｖのそれぞれを辺とする平行四辺形で
微小平面をあらわせば、微小平面の面積△Ｓは、面の法線方向を考慮して、二つのベクトルの外積によってベクトルとして、
△Ｓ＝∂Ｒ／∂ｕ*△ｕ×∂Ｒ／∂ｖ*△ｖ＝∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ*△ｕ△ｖ
で与えられる。よって、スカラＦ（ｘ，ｙ，ｚ）の面積分は、微小量を無限小の極限にして、（△Ｓ→dＳ、△ｕ→dｕ、△ｖ→dｖ）
∫Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）|dＳ|＝∫Ｆ（ｕ，ｖ）|∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ*dｕdｖ|
となる。u,vに対する積分をu,vの増加する方向に行えば、dｕdｖ>0であるから、
∫Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）|dＳ|＝∫Ｆ（ｕ，ｖ）|∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ|dｕdｖ
で与えられる。∫Ｆ（ｕ，ｖ）|∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ|dｕdｖにおいて、
Ｆ（ｕ，ｖ）|∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ|は、ｕ，ｖに関する被積分関数と見なすことができる。
∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖの成分は、先の計算を参考にして、求めることができる。参考にすれば、
|∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ|＝（（∂（ｙ，ｚ）／∂（ｕ，ｖ））2＋（∂（ｚ，ｘ）／∂（ｕ，ｖ））2 ＋（∂（ｘ，ｙ）／∂（ｕ，ｖ））2）1/2
∫Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）|dＳ|＝∫Ｆ（ｕ，ｖ）（（∂（ｙ，ｚ）／∂（ｕ，ｖ））2＋（∂（ｚ，ｘ）／∂（ｕ，ｖ））2 ＋（∂（ｘ，ｙ）／∂（ｕ，ｖ））2）1/2dｕdｖ
となる。
u,vに関する被積分関数 Ｆ（ｕ，ｖ）（（∂（ｙ，ｚ）／∂（ｕ，ｖ））2＋（∂（ｚ，ｘ）／∂（ｕ，ｖ））2
＋（∂（ｘ，ｙ）／∂（ｕ，ｖ））2）1/2 が、ｕだけを変数に持つ項Ｇuとｖだけを変数に持つ項Ｇvの積に分解できれば、
ｕに関する項とｖに関する項は互いに定数と見なすことができて、
∫Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）|dＳ|＝∫Ｇu（ｕ）Ｇv（ｖ）dｕdｖ＝∫Ｇu（ｕ）dｕ*∫Ｇv（ｖ）dｖ
となり、二つの線積分の積で与えられる。
また、被積分関数 Ｆ（ｕ，ｖ）（（∂（ｙ，ｚ）／∂（ｕ，ｖ））2＋（∂（ｚ，ｘ）／∂（ｕ，ｖ））2
＋（∂（ｘ，ｙ）／∂（ｕ，ｖ））2）1/2 が、 ｄ2Ｆ／ｄｕｄｖ
のようにｕとｖに関する一階づつの微分で与えられれば、ｖ，ｕに関して一回づつ積分すれば面積分が得られる。
被積分関数が、ベクトルＦ(Ｒ)で、与えられれば、Ｆのそれぞれの成分について、各成分をスカラ関数と見なして、面積で積分すれば、
対応する成分の積分が得られる。もし、Ｆを場所（ｘ，ｙ，ｚ）に依存しない座標系で展開すれば、各座標変数に対応する単位ベクトルの係数を
被積分関数として積分すれば、積分したベクトルが得られる。
ｘｙｚ座標で、Ｆを与えれば、Ｆ(Ｒ)＝（Ｆx(Ｒ)，Ｆy(Ｒ)，Ｆz(Ｒ)）
であるので、例えば、ｘ座標の成分は、∫Ｆx|dＳ|のように、各成分をスカラ関数として積分すればよい。
もし、積分範囲がｘｙ平面上だけで与えられていれば、ｕ，ｖへの変換は、積分変数の変換を示す。
このときは、ｚ＝０とおいて、積分を書き直せば、
∫ＦdＳ＝（∫Ｆ（ｕ，ｖ）（∂ｘ／∂ｕ）*（∂ｙ／∂ｖ）−（∂ｙ／∂ｕ）*（∂ｘ／∂ｖ）dｕdｖ）ｅz
ｕ＝ｘ、ｖ＝ｙであれば、 ∫ＦdＳ＝∫Ｆ(ｘ，ｙ）dｘdｙｅzであるから、
∫Ｆ(ｘ，ｙ）dｘdｙｅz＝∫Ｆ（ｕ，ｖ）（（∂ｘ／∂ｕ）*（∂ｙ／∂ｖ）−（∂ｙ／∂ｕ）*（∂ｘ／∂ｖ））dｕdｖｅz
ｅzの係数を比較して、
∫Ｆ(ｘ，ｙ）dｘdｙ＝∫Ｆ（ｕ，ｖ）（（∂ｘ／∂ｕ）*（∂ｙ／∂ｖ）−（∂ｙ／∂ｕ）*（∂ｘ／∂ｖ））dｕdｖ
となり、これが２変数の積分の変数変換を示す。
被積分関数が、ベクトルＦ(Ｒ)で、微小平面との内積を積分する場合には、
ｄＳ＝（∂（ｙ，ｚ）／∂（ｕ，ｖ）*dｕdｖｅx＋∂（ｚ，ｘ）／∂（ｕ，ｖ）*dｕdｖｅy
＋∂（ｘ，ｙ）／∂（ｕ，ｖ）*dｕdｖｅz）
であるから、Ｆ＝（Ｆx、Ｆy、Ｆz）とすれば、
∫Ｆ・dＳ＝∫（Ｆx∂（ｙ，ｚ）／∂（ｕ，ｖ）
＋Ｆy∂（ｚ，ｘ）／∂（ｕ，ｖ）＋Ｆz∂（ｘ，ｙ）／∂（ｕ，ｖ））dｕdｖ
とスカラの積分になる。
また、｜Ｆ｜＝Ｆ、｜dＳ｜＝dＳ、ＦとdＳのなす角をθとすれば、
∫Ｆ・dＳ＝∫ＦｃｏｓθdＳとなり、’被積分関数がＦｃｏｓθ’の面積分となる。
一般に立体は、３次元空間に広がっており、立体中の点の集合は、立体の存在する空間における点の座標を三つの独立変数で表現することによってえられる。
独立変数を（ｕ，ｖ，ｗ）で表せば、立体中の点Ｒ（＝（ｘ、ｙ、ｚ））は、Ｒ（ｕ，ｖ，ｗ）のように独立変数（ｕ，ｖ，ｗ）の関数となり、
Ｒ（ｕ，ｖ，ｗ）＝（ｘ（ｕ，ｖ，ｗ），ｙ（ｕ，ｖ，ｗ），ｚ（ｕ，ｖ，ｗ））
と表される。
立体中の点は、独立変数（ｕ，ｖ，ｗ）を変化させることによって移動するので、ｕを△ｕ変化させたときの点Ｒの移動を表すベクトル
∂Ｒ／∂ｕ*△ｕとｖをΔｖ変化させたときの点Ｒの移動を表すベクトル∂Ｒ／∂ｖ*△ｖとｗをΔｗ変化させたときの点Ｒの移動を表す
ベクトル∂Ｒ／∂ｗ*△ｗのそれぞれを辺とする平行六面体で微小立体をあらわせば、微小立体の体積△Ｖは、
三つのベクトルによって外積で述べたように
△Ｖ＝（∂Ｒ／∂ｕ*△ｕ×∂Ｒ／∂ｖ*△ｖ）・∂Ｒ／∂ｗ*△ｗ
＝（∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ）・∂Ｒ／∂ｗ*△ｕ△ｖ△ｗ で与えられる。
よって、体積積分は、微小量を無限小の極限にして、（△Ｖ→dＶ、△ｕ→dｕ、△ｖ→dｖ、△ｗ→dｗ）
∫Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）dＶ＝∫Ｆ（ｕ，ｖ，ｗ）（∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ）・∂Ｒ／∂ｗ*dｕdｖdｗ
となる。先に求めた結果を参考にして、
∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ
＝（（∂ｙ／∂ｕ）*（∂ｚ／∂ｖ）−（∂ｚ／∂ｕ）*（∂ｙ／∂ｖ））ｅx
＋（（∂ｚ／∂ｕ）*（∂ｘ／∂ｖ）−（∂ｘ／∂ｕ）*（∂ｚ／∂ｖ））ｅy
＋（（∂ｘ／∂ｕ）*（∂ｙ／∂ｖ）−（∂ｙ／∂ｕ）*（∂ｘ／∂ｖ））ｅz
（∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ）・∂Ｒ／∂ｗ
＝（（∂ｙ／∂ｕ）*（∂ｚ／∂ｖ）−（∂ｚ／∂ｕ）*（∂ｙ／∂ｖ））∂ｘ／∂ｗ
＋（（∂ｚ／∂ｕ）*（∂ｘ／∂ｖ）−（∂ｘ／∂ｕ）*（∂ｚ／∂ｖ））∂ｙ／∂ｗ
＋（（∂ｘ／∂ｕ）*（∂ｙ／∂ｖ）−（∂ｙ／∂ｕ）*（∂ｘ／∂ｖ））∂ｚ／∂ｗ
となる。（この量は、記号的に、∂（ｘ，ｙ，ｚ）／∂（ｕ，ｖ，ｗ）と表す（Jacobian（ヤコビアン）という）。）
∫Ｆ（ｕ，ｖ，ｗ）（∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ）・∂Ｒ／∂ｗ*dｕdｖdｗにおいて、
Ｆ（ｕ，ｖ，ｗ）（∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ）・∂Ｒ／∂ｗは、ｕ，ｖ，ｗに関する被積分関数と見なすことができる。
この関数がｕだけを変数に持つ項Ｆuとｖだけを変数に持つ項Ｆvとｗだけを変数に持つ項Ｆwの積に分解できれば、
ｕに関する項とｖに関する項とｗに関する項は互いに定数と見なすことができて、
∫Ｆ（ｚ，ｙ，ｚ）dＶ＝∫Ｆu（ｕ）*Ｆv（ｖ）*Ｆw（ｗ）dｕdｖdｗ
＝∫Ｆu（ｕ）dｕ*∫Ｆv（ｖ）dｖ*∫Ｆw（ｗ）dｗ
となり、三つの線積分の積で与えられる。
また、Ｆ（ｕ，ｖ，ｗ）（∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ）・∂Ｒ／∂ｗ＝ｄ3Ｆ／dｕdｖdｗのようにｕとｖとｗに関する 一階づつの微分で与えられれば、ｕ，ｖ，ｗに関して一回づつ積分すれば体積積分が得られる。
ここで、ｘ＝ｕ、ｙ＝ｖ、ｚ＝ｗであれば、∫ＦdＶ＝∫Ｆ(ｘ，ｙ，ｚ）dｘdｙdｚであるので、
∫ＦdＶ＝∫Ｆ（ｕ，ｖ，ｗ）（∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ）・∂Ｒ／∂ｗ*dｕdｖdｗ
と等しいとおけば、
∫Ｆ(ｘ，ｙ，ｚ）dｘdｙdｚ＝∫Ｆ（ｕ，ｖ，ｗ）（∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ）・∂Ｒ／∂ｗ*dｕdｖdｗ
となり、これが３変数の積分の変数変換を示す。
’重み’（∂Ｒ／∂ｕ×∂Ｒ／∂ｖ）・∂Ｒ／∂ｗ の成分表現は、先に示してある。
Ｆ（Ｒ）がベクトルＦ(Ｒ)の場合には、体積積分
∫ＦdＶ＝∫（Ｆx、Ｆy、Ｆz）dＶ＝（∫ＦxdＶ、∫ＦydＶ、∫ＦzdＶ）
であるので、被積分関数を成分毎にスカラと見なして積分すればよい。