スカラをスカラで積分する
三次元空間で定義される関数Ｆ（ｒ)を点ｒ１からｒ２まで経路Ｌにしたがって距離によって積分する表現を考える。
経路を線と考えれば、一つの変数（ここでは、'ｔ'とする）で線は表現される。つまり、経路の線上の点ｒ（＝ｘ（ｔ），ｙ（ｔ），ｚ（ｔ））の各成分は、ただ一つの’媒介変数’ｔの関数で表現される。(もちろんｘ（ｙやｚ）を媒介変数として使ってもよい）
さて、線の大きさだけに対する積分の一般表現は、∫Ｆ（ｒ）d ｌ（d ｌ；Ｌに沿って積分する）である。
点ｒ（＝（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ），ｚ（ｔ）））の集合が、線Ｌをあらわせば、d ｌと｜d ｒ｜は等しくなる。
今、媒介変数によってd ｌとd ｒを関連づける。
d ｌは、線Ｌ上での点ｒからｒ＋d ｒ迄の長さ｜d ｒ｜である。
d ｌ＝｜d ｒ｜＝｜（d ｘ，d ｙ，d ｚ）｜＝（d ｘ２＋d ｙ２＋d ｚ２）１／２
媒介変数ｔでそれぞれの変位をあらわすとd ｘ＝d ｘ／d ｔ*d ｔ、・・とかける。d ｔでくくり出せば、d ｔ＞０（ｔを増やす方向に積分）として、
d ｌ＝（（d ｘ／d ｔ）２＋（d ｙ／d ｔ）２＋（d ｚ／d ｔ)２）１／２d ｔ
よって次のように与えられる。
∫Ｆ（ｒ）d ｌ＝∫Ｆ（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ），ｚ（ｔ））（（d ｘ／d ｔ）２＋（d ｙ／d ｔ）２＋（d ｚ／d ｔ）２）１／２d ｔ
面積分と体積積分で扱ったようにｒを一つの独立変数ｔによる表現で表せば、（ｒの集合は線を表すので、点ｒの集合を記述する独立変数は一つ）
∫Ｆd ｌ＝∫Ｆ（ｔ）｜d ｒ／d ｔ｜d ｔ
ｒを成分で表せば、先ほどの式になる。
例えば、太さを無視できる半径Ｒの円環状に線電荷密度λ〔Ｃ／ｍ〕で電荷が分布する時、円環の中心軸上の円環からの距離Ｈ （円環の中心軸をｚ軸とし、円環を含む平面をｚ＝０とする）の位置での電位φを求める。
電荷の分布は、ＸＹの座標軸を設定して、媒介変数θを使って、（Ｘ，Ｙ，Ｚ）＝（Ｒcosθ，Ｒsinθ，０）で与えられる。（θは、ＸＹ面内でＸ軸からのなす角に相当する。）
円環の経路は、θ；0〜2π で表される。
円環上の微小線分dlによるＨでの電位dφは、距離が(Ｈ2+Ｘ2+Ｙ2)1/2であるから
Ｘ2+Ｙ2=Ｒ2であるから
dφ＝λdl/4πε0(Ｈ2+Ｒ2)1/2
dｌ＝((dＸ/dｔ)2+(dＹ/dｔ)2+(dＺ/dｔ)2)1/2dｔ＝((-Ｒsinθ)2+(Ｒcosθ)2)1/2dθ=Ｒdθ であるから、（dｌ=Ｒdθになるのは、作図をみれば明らか）
φ＝∫dφ＝∫λdl/4πε0(Ｈ2+Ｒ2)1/2（dｌ;円環に沿った経路）＝∫λ/4πε0(Ｈ2+Ｒ2)1/2Ｒdθ（θ;０〜２π）
＝λ/4πε0(Ｈ2+Ｒ2)1/2*２πＲ
＝λＲ/2ε0(Ｈ2+Ｒ2)1/2
ベクトルをスカラで積分する
例えば、'太さを無視できる半径Ｒの円環上に均一に線電荷蜜度λ(C/m)で電荷が分布する場合、円環の中心軸上の円環からの距離Ｈ （円環の中心軸をｚ軸とし、円環を含む平面をｚ＝０とする）の位置での電界Ｅを求める。'で示したように、各成分それぞれの線積分を求めれば良い。
ベクトルをベクトルで内積を取りながら積分する
三次元空間で定義されるベクトル関数Ｅ（ｒ)を点ｒ1からｒ2まで経路Ｌにしたがって Ｌの接線方向(dｒのこと。ｒがＬ上を移動する時変化dｒはＬの接線の方向をあらわす)との内積を取りながら距離に対して積分する（Ｅの'ｒの移動方向'の成分を移動距離に対して積分する）表現を考える。
さて、積分の一般表現は、∫Ｅ・dｒ（;Ｌに沿って積分する）である。
∫Ｅ・dｒにおいて、Ｅ・dｒ＝ＥXdX+ＥYdY+ＥZdZと分解されるので、
各項について一つの独立変数で積分を表現して、（第一項でXをそのまま積分変数とすれば、ｙとｚは、ｘで表される従属変数）各項を別々に積分して値を求めることができる。
（すべての項を共通の独立変数で表しても良い。スカラのスカラによる積分と同じになる。）
（積分経路によって、ある変数について多価関数になるときには、値の重なりを考慮して積分する必要がある。
重なった領域においては、それぞれの領域に分けて積分する。）
またＥとdｒのなす角をφとすれば、Ｅ・dｒ＝|Ｅ||dｒ|cosφであるから、 スカラ関数|Ｅ|cosφをスカラ|dｒ|で積分することになる。（もちろん、スカラ関数の変数は'積分変数(一つの変数）だけで'表現されねばならない）
もし、ベクトル関数Ｅ(ｒ)がスカラ関数Ｕ(ｒ)によって
Ｅ(ｒ)=gradＵ(ｒ)と表されれば、gradＵ(ｒ)・dｒ=dＵであるから
∫Ｅ・dｒ（dｒ；ｒ1〜ｒ2）
=∫gradＵ(ｒ)・dｒ（dｒ；ｒ1〜ｒ2）
=∫dＵ（dＵ；ｒ1〜ｒ2）=Ｕ(ｒ2)-Ｕ(ｒ1)
とかける。この積分は、二点間のＵの差で与えられることから、経路Ｌによらず一定であることが分かる。