点（ベクトル）の回転を与える行列の性質

互いに直交しているので、
�C　　Ｕ₁₁Ｕ₁₂＋Ｕ₂₁Ｕ₂₂＋Ｕ₃₁Ｕ₃₂＝０
　　（Ｕ₁₂Ｕ₁₃＋Ｕ₂₂Ｕ₂₃＋Ｕ₃₂Ｕ₃₃＝０）
　　（Ｕ₁₃Ｕ₁₁＋Ｕ₂₃Ｕ₂₁＋Ｕ₃₃Ｕ₃₁＝０）
　上の括弧付きの二つの内積の式は、�@〜�Bが成り立てば、外積の性質により'０'になることは、自明である。

単位ベクトルであるから
�D　　Ｕ₁₁²＋Ｕ₂₁²＋Ｕ₃₁²＝１
�E　　Ｕ₁₂²＋Ｕ₂₂²＋Ｕ₃₂²＝１
　　（Ｕ₁₃²＋Ｕ₂₃²＋Ｕ₃₃²＝１）
　上の括弧付きのベクトルの大きさの式は、Ｕ₁とＵ₂が互いに直交しているので（上の条件�C）、外積の性質により'１'になることは、自明である。

　これらの関係が成り立つことを、この頁の初めで示した回転を表す行列の成分によって、以下に確認する。

外積の成分を比較する
　Ｕ₁₁Ｕ₂₂−Ｕ₁₂Ｕ₂₁
　　　＝（ｃｏｓθ＋ｌ_x²（１−ｃｏｓθ））（ｃｏｓθ＋ｌ_y²（１−ｃｏｓθ）） −（−ｌ_zｓｉｎθ＋ｌ_xｌ_y（１−ｃｏｓθ））（ｌ_zｓｉｎθ＋ｌ_xｌ_y（１−ｃｏｓθ））
　　　＝ｃｏｓ²θ＋ｌ_x²ｌ_y²（１−ｃｏｓθ）²＋ （ｌ_x²＋ｌ_y²）ｃｏｓθ（１−ｃｏｓθ） −（−ｌ_z²ｓｉｎ²θ＋ｌ_x²ｌ_y²（１−ｃｏｓθ）²）
　　　＝ｌ_z²＋（１−ｌ_z²）ｃｏｓθ
　　　＝Ｕ₃₃
　他の成分についても成り立つことが確認される。
　　Ｕ₃₂Ｕ₃₃−Ｕ₂₃Ｕ₃₂＝Ｕ₁₁
　　Ｕ₁₃Ｕ₁₁−Ｕ₃₁Ｕ₁₃＝Ｕ₂₂

互いの直交性を確認する
　　Ｕ₁₁Ｕ₁₂＋Ｕ₂₁Ｕ₂₂＋Ｕ₃₁Ｕ₃₂
　　　＝（ｃｏｓθ＋ｌ_x²（１−ｃｏｓθ））（−ｌ_zｓｉｎθ＋ｌ_xｌ_y（１−ｃｏｓθ）） ＋（ｌ_zｓｉｎθ＋ｌ_xｌ_y（１−ｃｏｓθ））（ｃｏｓθ＋ｌ_y²（１−ｃｏｓθ）） ＋（−ｌ_yｓｉｎθ＋ｌ_xｌ_z（１−ｃｏｓθ））（ｌ_xｓｉｎθ＋ｌ_zｌ_y（１−ｃｏｓθ））
　　　＝−ｌ_zｓｉｎθ（ｃｏｓθ＋ｌ_x²（１−ｃｏｓθ））＋２ｌ_xｌ_y（１−ｃｏｓθ）ｃｏｓθ ＋ｌ_zｓｉｎθ（ｃｏｓθ＋ｌ_y²（１−ｃｏｓθ）） −ｌ_xｌ_yｓｉｎ²θ＋（ｌ_x²−ｌ_y²）ｌ_zｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ） ＋ｌ_xｌ_y（１−ｃｏｓθ）²
　　　＝−ｌ_zｓｉｎθ（ｃｏｓθ＋ｌ_x²（１−ｃｏｓθ）） ＋ｌ_zｓｉｎθ（ｃｏｓθ＋ｌ_y²（１−ｃｏｓθ））＋（ｌ_x²−ｌ_y²）ｌ_zｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）
　　　＝０

単位ベクトルであることを確認する
　　Ｕ₁₁²＋Ｕ₂₁²＋Ｕ₃₁²
　　　＝（ｃｏｓθ＋ｌ_x²（１−ｃｏｓθ））²＋（ｌ_zｓｉｎθ＋ｌ_xｌ_y（１−ｃｏｓθ））² ＋（−ｌ_yｓｉｎθ＋ｌ_xｌ_z（１−ｃｏｓθ））²
　　　＝ｃｏｓ²θ＋２ｃｏｓθｌ_x²（１−ｃｏｓθ）＋ｌ_x⁴（１−ｃｏｓθ）² ＋ｌ_z²ｓｉｎ²θ＋２ｌ_xｌ_yｌ_zｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）−ｌ_x²ｌ_y²（１−ｃｏｓθ）² ＋ｌ_y²ｓｉｎ²θ−２ｌ_xｌ_yｌ_zｓｉｎθ（１−ｃｏｓθ）＋ｌ_x²ｌ_z²（１−ｃｏｓθ）²
　　　＝ｃｏｓ²θ＋２ｃｏｓθｌ_x²（１−ｃｏｓθ）＋ｌ_x²（１−ｃｏｓθ）² ＋ｌ_z²ｓｉｎ²θ＋ｌ_y²ｓｉｎ²θ
　　　＝ｃｏｓ²θ＋２ｌ_x²ｃｏｓθ（１−ｃｏｓθ）＋ｌ_x²（１−ｃｏｓθ）² ＋（１−ｌ_x²）（１−ｃｏｓ²θ）
　　　＝１
　他の成分についても成り立つ
　　Ｕ₁₂²＋Ｕ₂₂²＋Ｕ₃₂²＝１

　よって、この頁の始めに示した行列は、回転変換を表す行列としての条件を満たすことが分かる。
一般には、�@〜�Eのすべての条件を満たせば回転変換を表す行列になる。
行列が９成分よりなることを考えれば、独立な変数は３つであることが分かる。初めに示した行列においては、’α、γ、θ’が独立変数に相当する。 これらの変数により、この頁の初めに示した変換行列のｌ_x、ｌ_y、ｌ_z、θが与えられる。

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