※真空中の誘電率は、８.８５４×１０－１２〔Ｆ／ｍ〕とせよ。
I 比誘電率εｒの媒質中に面積Ｓ〔ｍ２〕の導体板１，２が間隔ｄ〔ｍ〕で平行にある。以下の問いに答えよ。
① 導体板１にＱ〔Ｃ〕、導体板２に－Ｑ〔Ｃ〕（Ｑ＞０）の電荷を与えた。導体板間の電界と電束密度を求めよ。
電束・電界は、板に垂直な方向を向く。電束密度についてガウスの定理を適用すれば、
| 導体板１の与える電束密度Ｄ１＝ | Ｑ ２Ｓ | 〔Ｃ／ｍ２〕 導体板から外に向かう方向 |
| 導体板２の与える電束密度Ｄ２＝ | Ｑ ２Ｓ | 〔Ｃ／ｍ２〕 導体板に向かう方向 |
| 導体板間：電束密度Ｄ＝ | Ｑ Ｓ | 〔Ｃ／ｍ２〕（導体板１から導体板２に向かう方向） |
| Ｅ＝ | Ｄ εｒε０ |
| 導体板間：電界Ｅ＝ | Ｑ εｒε０Ｓ | 〔Ｖ／ｍ〕（導体板１から導体板２に向かう方向） |
② 導体板１と導体板２の間の電位差を求めよ。
導体板間では一様電界であるから
| 電位差Ｖ＝Ｅｄ＝ | Ｑｄ εｒε０Ｓ | 〔Ｖ／ｍ〕（導体板２が基準電位） |
③ 導体板１と導体板２をコンデンサと見なしたときの静電容量を求めよ。
| 静電容量Ｃ＝ | Ｑ Ｖ | ＝ | εｒε０Ｓ ｄ | 〔Ｆ〕 |
④ ①において、電気力線を示せ。
導体板１から導体板２まで一様に垂直にのびる。
（図は省略）
⑤ ③において、εｒ＝２、Ｓ＝１〔ｍ２〕、ｄ＝３〔㎜〕のとき静電容量を求めよ。
③の結果に値を代入すれば、５.９ｎＦ
II 比誘電率εｒの媒質中で、電荷が密度σ〔Ｃ／ｍ２〕で均一に半径ｄ〔ｍ〕の円筒状に分布している。以下の問に答えよ。
① 筒の中心軸からｒ〔ｍ〕の位置の電界と電束密度と分極密度を求めよ。
電界・電束が、円筒の中心軸に対して垂直の向きにあることを考慮して、高さＨ、半径ｒの円筒状の閉曲面でガウスの定理を用いる。
ｒ＜ｄの時
閉曲面内に電荷はないので、Ｄ＝０、故にＥ＝０、Ｐ＝０
ｒ＞ｄの時
閉曲面内の全電荷量＝２πｄＨσ〔Ｃ〕、 電束＝２πｒＨＤ〔Ｃ〕（円筒の中心軸に対して外向きを正の方向とした）
| Ｄ＝ | ２πｄＨσ ２πｒＨ | ＝ | ｄσ ｒ | 〔Ｃ／ｍ２〕 |
| Ｅ＝ | Ｄ εｒε０ | ＝ | ｄσ εｒε０ｒ | 〔Ｖ／ｍ〕 |
| Ｐ＝Ｄ－ε０Ｅ＝（εｒ－１）ε０Ｅ＝ | （１－ | １ εｒ |
）ε０ | ｄσ ｒ | 〔Ｃ／ｍ２〕 |
② 筒の中心軸からＲ〔ｍ〕の位置の電位を求めよ。ただし、電位の基準を円筒の中心軸とする。
Ｒ＜ｄの時には、電界は０であるから電位は一定である。Ｒ＝０で電位φ＝０であるので、
Ｒ＜ｄ のとき φ＝０
ｄ＜Ｒのとき
| φ＝ | ∫ | Ｒ | ||
－Ｅd ｒ＝ | ｄσ ε０εｒ | log | ｄ Ｒ | 〔Ｖ〕 |
| ｄ |
③ εｒ＝３、σ＝１〔Ｃ／ｍ２〕、ｄ＝０.１〔ｍ〕とする。中心軸から１〔ｍ〕の位置に－２〔Ｃ〕の点電荷がある。点電荷の受ける力を求めよ。
電界の大きさは、３.８×１０９〔Ｖ／ｍ〕であるから、７.５×１０９〔Ｎ〕の力が中心軸に向かって働く。
III 比誘電率３の媒質中の点
① 原点における電界と電位を求めよ。
それぞれの電荷は、原点に同じ電位を与える。（１，０，０）にある電荷が原点に及ぼす電位は、
| ９×１０９・１×１０－９ ３・１ | ＝３〔Ｖ〕 |
② 点（０，０，１）〔ｍ〕における電界と電位を求めよ。
③ －１〔Ｃ〕の点電荷を、ｙ軸上の正の無限の遠方から原点まで移動させた。この点電荷の得たポテンシャルエネルギーを求めよ。