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電気磁気学IB （２００６年度 後期 本試験-2） 答の解説コーナー
※真空中の誘電率は、ε0＝８.８５４×１０－１２〔Ｆ／ｍ〕とせよ。
I 真空中に充分長い半径Ｒ1〔ｍ〕の円柱導体１と内半径Ｒ2〔ｍ〕で筒の肉厚ｔ〔ｍ〕の円筒導体２が同軸状に配置されている。
以下の問いに答えよ。（Ｒ1＜Ｒ2とする。）
① 円筒導体２の外側表面を接地して、円柱導体１に単位長さ当たりλ[C/m]の電荷を与えた。円筒導体２に分布する電荷を求めよ。
答
円筒導体２について－－－
導体では、電荷は表面に分布し、導体内部には電界は存在しない。円筒導体の内側表面のごく内側での電界が、λ/2πε0Ｒ2であることを考慮して、円筒導体の内側表面を挟んでガウスの定理を用いれば、円筒導体の内側表面には、－λ/2πＲ2[C/m2]の電荷が分布することが導かれる。円筒導体の外側表面は、接地されており、電位は'０'である。無限の遠方でも電位は'０'であるから、円筒導体の外側表面には電荷は分布しない。
② ①において、円柱導体１の中心軸からの距離ｒ[m]における電界の大きさを求めよ。
答
同軸の中心を中心として、半径ｒ、高さＨの円柱閉曲面でガウスの定理を使えば、
ｒ＜Ｒ1、Ｒ2＜ｒのとき Ｅ＝０ [V/m]
Ｒ1＜ｒ＜Ｒ2 のとき Ｅ＝λ/2πε0ｒ [V/m]（電界は外向きを正とした）
③ ①において、円柱導体１の中心軸からの距離Ｒ[m]における電位を求めよ。
答
電位φ＝∫－Ｅdr（ｒ；Ｒ2～Ｒ）
＝０ [V] （Ｒ2＜Ｒ）
＝λ/2πε0*ｌｏｇ（Ｒ2/Ｒ） [V] （Ｒ1＜Ｒ＜Ｒ2）
＝λ/2πε0*ｌｏｇ（Ｒ2/Ｒ1） [V] （Ｒ＜Ｒ1）
④ ③において、全体を比誘電率εｒの媒質で満たした。電位はどうなるか。
答
電界が１／εrになるので、電位も真空中に比べて、１／εrになる。
⑤ ④において、円柱導体１と円筒導体２の間の単位長さ当たりの静電容量を求めよ。
答
電位差φ0がλ/2πε0εｒ*ｌｏｇ（Ｒ2/Ｒ1）であるから単位長さあたりの静電容量ＣLは、
ＣL＝λ/φ0＝2πε0εｒ/ｌｏｇ（Ｒ2/Ｒ1） [F/m]
⑥ εｒ＝３、Ｒ１＝２.２[mm]、Ｒ２＝６[mm]、ｔ＝０.１[mm]とする。
⑤において、単位長さ当たりの静電容量はいくらか。 （ ただし、ｌｏｇe（３／１.１）＝１、ε0＝８.８５４×１０－１２[F/m]として計算してもよい。）
答
④を参考にして、
ＣL＝2πε0εr/ｌｏｇ（Ｒ2/Ｒ1）
＝2π×８.８５４×１０-12×３
＝１.６７×１０-10 [F/m] ＝１６７[pF/m]
II 無限に広い接地された導体平面がある。以下の問に答えよ。
① 導体平面から距離１〔ｍ〕離れた位置に、１〔Ｃ〕の点電荷がある。点電荷に働く力を求めよ。
答
－１〔Ｃ〕の影像電荷を考える。影像電荷までの距離は、２〔ｍ〕であるから、９×１０９・１／２２＝９×１０９・１／４〔Ｎ〕の
引力が働く。
② ①において、全体を比誘電率２の媒質で満たした。点電荷に働く力を求めよ
答
電界は、１／２になるので、９×１０９・１／８〔Ｎ〕の引力が働く。
③ ②において、点電荷を無限の遠方まで移動させるために必要なエネルギーを求めよ。
答
ポテンシャルは、－９×１０９・１／２・２＝－９×１０９・１／４〔Ｖ〕であるから、９×１０９・１／４〔Ｊ〕が必要
III 比誘電率３の媒質中の点（１，０，０）〔ｍ〕に１×１０－９〔Ｃ〕の点電荷、
点（－１，０，０）〔ｍ〕に－１×１０－９〔Ｃ〕の点電荷がある。以下の問いに答えよ。
① 原点における電界と電位を求めよ。
答
点（１，０，０）〔ｍ〕にある１×１０－９〔Ｃ〕の点電荷が原点に作る電界Ｅ１は、
Ｅ１＝１×１０－９／３・４πε0１３／２（－１，０，０）＝（－３，０，０）〔Ｖ／ｍ〕
点（－１，０，０）〔ｍ〕にある－１×１０－９〔Ｃ〕の点電荷が原点に作る電界Ｅ１は、
Ｅ１＝－１×１０－９／３・４πε0１３／２（１，０，０）＝（－３，０，０）〔Ｖ／ｍ〕
よって、原点における電界Ｅは、二つの電荷の寄与を加えて、（－６，０，０）〔Ｖ／ｍ〕
電位は、それぞれの点電荷による電位を足せばよい。二つの電荷は、原点から等距離で大きさが等しく符号が異なるので、０〔Ｖ〕
② 点（０，０，１）〔ｍ〕における電界と電位を求めよ。
答
ｙ軸の正の方向から眺めて、電荷からの距離が２１／２〔ｍ〕であることを考慮して電界を合成する。
電界は大きさ２.１〔Ｖ／ｍ〕でｘ軸の負の方向を向く。電位は、０〔Ｖ〕となる。
③ －１〔Ｃ〕の点電荷を、ｙ軸上の正の無限の遠方から原点まで移動させた。この点電荷の得たポテンシャルエネルギーを求めよ。
答
無限遠の電位は０Ｖ、原点の電位は０Ｖであるから、０Ｊとなる。
これ以降はありません
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