@ 円筒導体2の外側表面を接地して、円柱導体1に単位長さ当たりλ[C/m]の電荷を与えた。
円柱導体1および円筒導体2には、どの様に電荷が分布するか。
円筒導体2について−−−
導体では、電荷は表面に分布し、導体内部には電界は存在しない。円筒導体の内側表面のごく内側での電界が、λ/2πε0R2であることを考慮して、円筒導体の内側表面を挟んでガウスの定理を用いれば、円筒導体の内側表面には、−λ/2πR2[C/m2]の電荷が分布することが導かれる。円筒導体の外側表面は、接地されており、電位は'0'である。無限の遠方でも電位は'0'であるから、円筒導体の外側表面には電荷は分布しない。
A @において、円柱導体1の中心軸からの距離r[m] における電界の大きさを求めよ。
答
同軸の中心を中心として、半径r、高さHの円柱閉曲面でガウスの定理を使えば、
r<R1、R2<rのとき E=0 [V/m]
R1<r<R2 のとき E=λ/2πε0r [V/m]
B @において、円柱導体1の中心軸からの距離R[m]における電位を求めよ。
答
電位φ=∫−Edr(r;R2〜R)
=0 [V] (R2<R)
=λ/2πε0*log(R2/R) [V] (R1<R<R2)
=λ/2πε0*log(R2/R1) [V] (R<R1)
C 円柱導体1と円筒導体2の間の単位長さ当たりの静電容量を求めよ。
答
電位差φ0がλ/2πε0*log(R2/R1)であるから単位長さあたりの静電容量CLは、
CL=λ/φ0=2πε0/log(R2/R1) [F/m]
D Bにおいて、全体を比誘電率εrの媒質で満たした。電位はどうなるか。
答
電界が1/εrになるので、電位も真空中に比べて、1/εrになる。
E εr=2、R1=1.1[mm]、R2=3[mm]、t=0.1[mm]とする。
Cにおいて、単位長さ当たりの静電容量はいくらか。
( ただし、loge(3/1.1)=1、ε0=8.854×10-12[C/Vm]としてもよい。
答
Cを参考にして、
CL=2πε0εr/log(R2/R1)
=2π×8.854×10-12×2
=1.1×10-10 [F/m] =110[pF/m]
II 真空中に接地された無限に広い平面導体がある。次の問に答えよ。必要な座標は各自で設定せよ。
@ Q[C]の点電荷を無限の遠方から、平面導体の表面からの高さH[m]の位置へ近づけた。点電荷の受ける力を求めよ。
答
導体平面表面に対して反対の位置に−Q[C]の影像電荷を考えればよいので、Q[C]の点電荷の受ける力は導体平面に近づく方向に働き、
その大きさは、距離が2Hになるので、Hの増加する方向に力の方向をそろえて、
F=−Q2/4πε0(2H)2=−Q2/16πε0H2 [N]
A @において、点電荷の獲得した静電ポテンシャルエネルギーを求めよ。
答
ポテンシャルエネルギーφは、
φ=∫−FdH(H;∞〜H)=−Q2/16πε0H [J]
B @およびAにおいて、全体を比誘電率εrの媒質で満たした。@の点電荷の受ける力と、Aの静電ポテンシャルエネルギーを求めよ。
答
力も、ポテンシャルエネルギーも1/εrになるので、
力; Q2/16πε0εrH2 [N]
ポテンシャルエネルギー; −Q2/16πε0εrH [V]
III 真空中の点(1,0,0)[m]にQ1[C]の点電荷、点(−1,0,0)(m)にQ2[C]の点電荷がある。以下の問いに答えよ。
@ Q1=−Q2=1×10-9[C]のとき、原点における電界、電位、電束密度、単位体積当たりの静電エネルギーを求めよ。
答
原点における電界、電束密度はX軸の方向を向くので、X成分だけについて考える。X軸の正の方向に電界Eと電束密度Dの正の方向を選んで、
電界 : E=(Q2−Q1)/4πε0 [V/m]
電束密度 : D=(Q2−Q1)/4π [C/m2]
電位 : φ=(Q1+Q2)/4πε0 [V]
単位堆積当たりの静電エネルギー : w=ED/2 [J/m3]
ゆえに、与えられた電荷に対しては、
電界 : -18 [V/m]
電束密度 : -1.6×10-10 [C/m2]
電位 : 0 [V]
単位堆積当たりの静電エネルギー : 1.44×10-9 [J/m3]
A Q1=Q2=1×10-9[C]のとき、原点における電界、電位、電束密度、単位体積当たりの静電エネルギーを求めよ。
答
@を参考にして、
電界 : 0 [V/m]
電束密度 : 0 [C/m2]
電位 : 18 [V]
単位堆積当たりの静電エネルギー : 0 [J/m3]
B @で、全体を比誘電率 2 の媒質で満たした。原点における電界、電位、電束密度を求めよ。
答
電界、電位は比誘電率に反比例するので、
電界 : -9 [V/m]
電束密度 : -1.6×10-10 [C/m2]
電位 : 0 [V]
単位堆積当たりの静電エネルギー : 0.72×10-9 [J/m3]
C Aで、全体を比誘電率 2 の媒質で満たした。原点における電位と、単位体積当たりの静電エネルギーを求めよ。
答
Bと同様にして、
電界 : 0 [V/m]
電束密度 : 0 [C/m2]
電位 : 9 [V]
単位堆積当たりの静電エネルギー : 0 [J/m3]