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'97　06/12 レポート　１

右の回路において、電流Ｉを求める。

①　ループ電流を設定して求める
②　鳳・テブナンの定理を利用して求める
③　回路（電源）を変換して求める

それぞれの方法について紹介する。
①　ループ電流を設定して求める
講義のポイントを参考にして、図のようにループ電流を設定すれば、Ｉ＝ＩL2で与えられる。

　キルヒホッフの電圧則より、
　Ｅ－Ｚ0（ＩL1＋ＩL3）－Ｚ1（ＩL1－ＩL2）－Ｚ3ＩL1＝０　　①
　Ｚ1（ＩL1－ＩL2）－Ｚ2（ＩL2＋ＩL3）－ＺＩL2＝０　　②
　Ｅ－Ｚ0（ＩL1＋ＩL3）－Ｚ2（ＩL2＋ＩL3）－Ｚ4ＩL3＝０　　③

①～③より、
（Ｚ0＋Ｚ1＋Ｚ3）ＩL1－Ｚ1ＩL2＋Ｚ0ＩL3＝Ｅ
－Ｚ1ＩL1＋（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ）ＩL2＋Ｚ2ＩL3＝０
Ｚ0ＩL1＋Ｚ2ＩL2＋（Ｚ0＋Ｚ2＋Ｚ4）ＩL3＝Ｅ

係数を行列に見立てて、逆行列より、ＩL2を求めれば、
Ｄ＝（Ｚ0＋Ｚ1＋Ｚ3）（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ）（Ｚ0＋Ｚ2＋Ｚ4）
　　－２Ｚ0Ｚ1Ｚ2－Ｚ22（Ｚ0＋Ｚ1＋Ｚ3） －Ｚ12（Ｚ0＋Ｚ2＋Ｚ4） －Ｚ02（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ）
　＝Ｚ（Ｚ1Ｚ2＋Ｚ2Ｚ3＋Ｚ3Ｚ4＋Ｚ4Ｚ1） ＋ＺＺ0（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ3＋Ｚ4）
　　＋Ｚ0（Ｚ1Ｚ3＋Ｚ2Ｚ3＋Ｚ2Ｚ4＋Ｚ1Ｚ4） ＋Ｚ3Ｚ2（Ｚ1＋Ｚ4）＋Ｚ4Ｚ1（Ｚ2＋Ｚ3）
　＝Ｚ（Ｚ1＋Ｚ3）（Ｚ2＋Ｚ4） ＋ＺＺ0（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ3＋Ｚ4）
　　＋Ｚ0（Ｚ1＋Ｚ2）（Ｚ3＋Ｚ4） ＋Ｚ3Ｚ2（Ｚ1＋Ｚ4）＋Ｚ4Ｚ1（Ｚ2＋Ｚ3）
　＝Ｚ（（Ｚ1＋Ｚ3）（Ｚ2＋Ｚ4） ＋Ｚ0（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ3＋Ｚ4））
　　＋Ｚ0（Ｚ1＋Ｚ2）（Ｚ3＋Ｚ4） ＋Ｚ1Ｚ2（Ｚ3＋Ｚ4）＋Ｚ3Ｚ4（Ｚ1＋Ｚ2）

として、

Ｉ＝ＩL2＝Ｅ／Ｄ＊（Ｚ1（Ｚ0＋Ｚ2＋Ｚ4）＋Ｚ0Ｚ2 －（（Ｚ0＋Ｚ1＋Ｚ3）Ｚ2＋Ｚ0Ｚ1））
　＝Ｅ（Ｚ1Ｚ4－Ｚ2Ｚ3）／Ｄ

　

②　鳳・テブナンの定理を利用して求める
右は、先の回路で、インピーダンスＺを取り除いた回路である。
インピーダンスＺを除いた端子をａｂとする。

ａｂ間の電圧Ｖa－Ｖbを求める。

Ｉ'＝Ｅ／（Ｚ0＋（Ｚ1＋Ｚ3）（Ｚ2＋Ｚ4） ／（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ3＋Ｚ4））

Ｖa＝Ｉ'Ｚ4（Ｚ1＋Ｚ3） ／（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ3＋Ｚ4）
　　＝ＥＺ4（Ｚ1＋Ｚ3）／（Ｚ0（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ3＋Ｚ4） ＋（Ｚ1＋Ｚ3）（Ｚ2＋Ｚ4））

Ｖb＝Ｉ'Ｚ3（Ｚ2＋Ｚ4） ／（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ3＋Ｚ4）
　　＝ＥＺ3（Ｚ2＋Ｚ4）／（Ｚ0（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ3＋Ｚ4） ＋（Ｚ1＋Ｚ3）（Ｚ2＋Ｚ4））

Ｖa－Ｖb＝Ｅ（Ｚ1Ｚ4－Ｚ3Ｚ2）／（Ｚ0（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ3＋Ｚ4） ＋（Ｚ1＋Ｚ3）（Ｚ2＋Ｚ4））

電圧源は、インピーダンスが０であるから、ａｂからみるとインピーダンスは、 右の図のような回路で構成される。
ａｂから見たインピーダンスを求めるために、Ｚ0、Ｚ3、Ｚ4をＹ結線に見立てて、 Δ結線に変換する。
Ｚa、Ｚb、Ｚcはそれぞれ、次のように与えられる。

Ｚa＝（Ｚ0Ｚ3＋Ｚ3Ｚ4＋Ｚ4Ｚ0）／Ｚ3
Ｚb＝（Ｚ0Ｚ3＋Ｚ3Ｚ4＋Ｚ4Ｚ0）／Ｚ4
Ｚc＝（Ｚ0Ｚ3＋Ｚ3Ｚ4＋Ｚ4Ｚ0）／Ｚ0
右のような回路であるから、合成インピーダンスＺtは、

Ｚt＝１／（１／（Ｚ2Ｚa／（Ｚ2＋Ｚa）＋Ｚ1Ｚb／（Ｚ1＋Ｚb））＋１／Ｚc）
　　＝（（Ｚ1＋Ｚ2）Ｚ0＋（Ｚ1＋Ｚ2）Ｚ3Ｚ4＋Ｚ1Ｚ2（Ｚ3＋Ｚ4）） ／（（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ3＋Ｚ4）Ｚ0 ＋（Ｚ1＋Ｚ3）（Ｚ2＋Ｚ4）

Ｉ＝（Ｖa－Ｖb）／（Ｚt＋Ｚ）
　＝Ｅ（Ｚ1Ｚ4－Ｚ3Ｚ2）／（Ｚ0（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ3＋Ｚ4） ＋（Ｚ1＋Ｚ3）（Ｚ2＋Ｚ4））（Ｚt＋Ｚ）
　＝Ｅ（Ｚ1Ｚ4－Ｚ3Ｚ2） ／（Ｚ0（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ3＋Ｚ4） ＋（Ｚ1＋Ｚ3）（Ｚ2＋Ｚ4））Ｚt ＋（Ｚ0（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ3＋Ｚ4） ＋（Ｚ1＋Ｚ3）（Ｚ2＋Ｚ4））Ｚ）

Ｉ＝Ｅ（Ｚ1Ｚ4－Ｚ3Ｚ2） ／（（Ｚ1＋Ｚ2）（Ｚ3＋Ｚ4）Ｚ0 ＋（Ｚ1＋Ｚ2）Ｚ3Ｚ4＋Ｚ1Ｚ2（Ｚ3＋Ｚ4） ＋（Ｚ0（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ3＋Ｚ4） ＋（Ｚ1＋Ｚ3）（Ｚ2＋Ｚ4））Ｚ）

③　回路（電源）を変換して求める
右は、先の回路で、電圧源とＺ0の直列インピーダンスを電流源と並列インピーダンスに変換した回路である。 この回路において、Ｉを求めてもよい。 電流源の電流は、Ｅ／Ｚ0となる。
Ｚ、Ｚ2、Ｚ4をＹ型接続であるとみなして、これをΔ型接続に変換すれば、Ｉは、右のように与えられる。 ここで、
Ｙ1＝１／Ｚ1、Ｙ2＝１／Ｚ2、Ｙ3＝１／Ｚ3、Ｙ4＝１／Ｚ4、 Ｙ0＝１／Ｚ0、Ｙ＝１／Ｚと表せば、

Ｙd＝１／Ｚd＝ＹＹ2／（Ｙ＋Ｙ2＋Ｙ4）
Ｙe＝１／Ｚe＝ＹＹ4／（Ｙ＋Ｙ2＋Ｙ4）
Ｙf＝１／Ｚf＝Ｙ4Ｙ2／（Ｙ＋Ｙ2＋Ｙ4）
である。

Ｉは、Ｚdに流れる電流とＺeに流れる電流の差で与えられる。
Ｉ＝ＥＹ0（Ｙd／（Ｙ1＋Ｙd）－Ｙe／（Ｙ3＋Ｙe））
＊（１／（１／（Ｙ1＋Ｙd）＋１／（Ｙ3＋Ｙe））／（Ｙ0＋Ｙf ＋１／（１／（Ｙ1＋Ｙd）＋１／（Ｙ3＋Ｙe）））
　＝ＥＹ0（Ｙd（Ｙ3＋Ｙe）－Ｙe（Ｙ1＋Ｙd））／（Ｙ1＋Ｙd）（Ｙ3＋Ｙe） （（Ｙ0＋Ｙf）（１／（Ｙ1＋Ｙd）＋１／（Ｙ3＋Ｙe））＋１）
　＝ＥＹ0（ＹdＹ3－ＹeＹ1）／ （（Ｙ0＋Ｙf）（（Ｙ1＋Ｙd）＋（Ｙ3＋Ｙe））＋（Ｙ1＋Ｙd）（Ｙ3＋Ｙe））
　＝ＥＹ0（ＹdＹ3－ＹeＹ1）／ （Ｙ3Ｙ0＋ＹeＹ0＋Ｙ3Ｙf＋ＹeＹf ＋Ｙ0Ｙ1＋ＹfＹ1＋Ｙ0Ｙd＋ＹfＹd ＋Ｙ1Ｙ3＋ＹdＹ3＋Ｙ1Ｙe＋ＹdＹe）
　＝ＥＹ0（ＹdＹ3－ＹeＹ1）／ （Ｙ3Ｙ0＋Ｙ0Ｙ1＋Ｙ1Ｙ3 ＋ＹeＹ0＋Ｙ3Ｙf＋ＹeＹf ＋ＹfＹ1＋Ｙ0Ｙd＋ＹfＹd ＋ＹdＹ3＋Ｙ1Ｙe＋ＹdＹe）
　＝ＥＹ0（ＹdＹ3－ＹeＹ1）／ （Ｙ3Ｙ0＋Ｙ0Ｙ1＋Ｙ1Ｙ3 ＋Ｙe（Ｙ0＋Ｙ1）＋Ｙf（Ｙ1＋Ｙ3）＋Ｙd（Ｙ3＋Ｙ0） ＋ＹＹ4Ｙ2／（Ｙ＋Ｙ2＋Ｙ4））
　＝ＥＹ0（ＹＹ2Ｙ3－ＹＹ4Ｙ1）／ （（Ｙ3Ｙ0＋Ｙ0Ｙ1＋Ｙ1Ｙ3）（Ｙ＋Ｙ2＋Ｙ4） ＋ＹＹ4（Ｙ0＋Ｙ1）＋Ｙ4Ｙ2（Ｙ1＋Ｙ3）＋ＹＹ2（Ｙ3＋Ｙ0） ＋ＹＹ4Ｙ2）
　＝ＥＹＹ0（Ｙ2Ｙ3－Ｙ4Ｙ1）／ （（Ｙ3Ｙ0＋Ｙ0Ｙ1＋Ｙ1Ｙ3）（Ｙ＋Ｙ2＋Ｙ4） ＋ＹＹ4（Ｙ0＋Ｙ1）＋Ｙ4Ｙ2（Ｙ1＋Ｙ3）＋ＹＹ2（Ｙ3＋Ｙ0） ＋ＹＹ4Ｙ2）
　＝Ｅ（Ｚ4Ｚ1－Ｚ2Ｚ3）／ （（Ｚ0＋Ｚ1＋Ｚ3）（ＺＺ2＋ＺＺ4＋Ｚ4Ｚ2） ＋Ｚ2Ｚ3（Ｚ0＋Ｚ1）＋ＺＺ0（Ｚ1＋Ｚ3）＋Ｚ1Ｚ4（Ｚ3＋Ｚ0） ＋Ｚ0Ｚ1Ｚ3）
　＝Ｅ（Ｚ4Ｚ1－Ｚ2Ｚ3）／ （ＺＺ0（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ3＋Ｚ4）＋Ｚ（Ｚ1＋Ｚ3）（Ｚ2＋Ｚ4） ＋Ｚ0（Ｚ1Ｚ3＋Ｚ2Ｚ3＋Ｚ2Ｚ4＋Ｚ1Ｚ4）＋ ＋Ｚ1Ｚ2Ｚ3＋Ｚ2Ｚ3Ｚ4＋Ｚ3Ｚ4Ｚ1＋Ｚ4Ｚ1Ｚ2）

Ｉ＝Ｅ（Ｚ4Ｚ1－Ｚ2Ｚ3）／ （ＺＺ0（Ｚ1＋Ｚ2＋Ｚ3＋Ｚ4）＋Ｚ（Ｚ1＋Ｚ3）（Ｚ2＋Ｚ4） ＋Ｚ0（Ｚ1＋Ｚ2）（Ｚ3＋Ｚ4）＋ ＋Ｚ1Ｚ2Ｚ3＋Ｚ2Ｚ3Ｚ4＋Ｚ3Ｚ4Ｚ1＋Ｚ4Ｚ1Ｚ2）

これでこの項目は終わり

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