もし、δ（X－X０）と表せば、δ（０）は、X＝X０の時に、’０’でない値を持つ。（積分値はもちろん’１’） （黒い線（グラフ）を参照）
右の図において、以下の①及び②の条件を満たすとき、ｆ（X）をデルタ関数といいδ（X）で表す。
① ｆ（X）は、X≠０の時、ｆ（X）＝０で、X＝０の時、ｆ（X）≠０である。
② X（積分範囲にX＝０を含む）＝１
すなわち、δ関数とは、X＝０にのみ’０’でない値があり（その他の場所では値は’０’）、X軸と囲まれた領域の面積が１になる関数のことである。
（青い線（グラフ）を参照）
もし、δ（X－X０）と表せば、δ（０）は、X＝X０の時に、’０’でない値を持つ。（積分値はもちろん’１’）
（黒い線（グラフ）を参照）
例えば、右の図においてαがどんな値であろうとX軸と囲まれた領域の面積（積分値）は’１’である。
αが有限の時には、－α／２＜X＜α／２で、ｆ（X）≠０であるが、α→０の場合には、X＝０でのみ値が’０’でなくなるのでδ（X）関数となる。（このときｆ（X）→∞である。）
ｎ次元であれば、ｎ次元のδ関数が定義される。ｎ次元の変数をベクトルｒで表せば、δ（ｒ－ｒ０）は、
ｒ≠ｒ０で、’０’となり、
| ∫ | δ（ｒ－ｒ０）d V（ｎ次元の体積積分） ＝ | { | １ ： 積分範囲にｒ０を含む） ０ ： 積分範囲にｒ０を含まない） |
この関数には、有用な多くの性質がある。一次元（主に時間変数）の場合と三次元（主に位置変数）の場合について解説する。