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Jacobian(ヤコビアン、ヤコビ行列)

n変数(x1,x2,x3,・・・,x)に関する積分において、 それぞれの変数が、別の変数の組(u1,u2,u3,・・・,u)で関数として表されるとき、 積分は、次のように変換される。

∫Fdx1dx2dx3・・・dx=∫F ∂(x1,x2,x3,・・・,x)/∂(u1,u2,u3,・・・,u) Fdu1du2du3・・・du

 ここで、記号 ∂(x1,x2,x3,・・・,x)/∂(u1,u2,u3,・・・,u) は、

 ’i行j列の要素が ∂xi/∂uj で表されるn×nの行列の行列式’であることを表し、Jacobianという。

1変数では、x→uとして
∫Fdx=∫F∂x/∂u*du

2変数では、x1,x2→u1,u2として
∫Fdx1dx2=∫F∂(x1,x2)/∂(u1,u2)*du1du2
       =∫F((∂x1/∂u1)*(∂x2/∂u2)−(∂x2/∂u1)*(∂x1/∂u2))*du1du2

3変数では、x1,x2,x3→u1,u2,u3として
∫Fdx1dx2dx3=∫F∂(x1,x2,x3)/∂(u1,u2,u3)*du1du2du3
      =∫F(((∂x1/∂u1)*(∂x2/∂u2)−(∂x2/∂u1)*(∂x1/∂u2))∂x3/∂u3
       +((∂x1/∂u1)*(∂x2/∂u3)−(∂x2/∂u1)*(∂x1/∂u3))∂x3/∂u2
       +((∂x1/∂u2)*(∂x2/∂u3)−(∂x2/∂u2)*(∂x1/∂u3))∂x3/∂u1 )*du1du2du3



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