∫Fdx1dx2dx3・・・dxn=∫F ∂(x1,x2,x3,・・・,xn)/∂(u1,u2,u3,・・・,un) Fdu1du2du3・・・dun
ここで、記号 ∂(x1,x2,x3,・・・,xn)/∂(u1,u2,u3,・・・,un) は、
’i行j列の要素が ∂xi/∂uj で表されるn×nの行列の行列式’であることを表し、Jacobianという。
1変数では、x→uとして
∫Fdx=∫F∂x/∂u*du
2変数では、x1,x2→u1,u2として
∫Fdx1dx2=∫F∂(x1,x2)/∂(u1,u2)*du1du2
=∫F((∂x1/∂u1)*(∂x2/∂u2)−(∂x2/∂u1)*(∂x1/∂u2))*du1du2
3変数では、x1,x2,x3→u1,u2,u3として
∫Fdx1dx2dx3=∫F∂(x1,x2,x3)/∂(u1,u2,u3)*du1du2du3
=∫F(((∂x1/∂u1)*(∂x2/∂u2)−(∂x2/∂u1)*(∂x1/∂u2))∂x3/∂u3
+((∂x1/∂u1)*(∂x2/∂u3)−(∂x2/∂u1)*(∂x1/∂u3))∂x3/∂u2
+((∂x1/∂u2)*(∂x2/∂u3)−(∂x2/∂u2)*(∂x1/∂u3))∂x3/∂u1
)*du1du2du3