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電気磁気学Ｉ （２０００年度 後期 追・再試験） 答の解説コーナー
I 真空中に充分長い外半径ａ〔ｍ〕、厚さｔ〔ｍ〕の円筒導体がある。以下の問いに答えよ。必要な座標は各自で設定せよ。
① 円筒導体に単位長さ当たりλ〔Ｃ／ｍ〕の電荷を与えた。円筒導体の中心軸からの距離ｒ〔ｍ〕における電界の大きさを求めよ。
答
電荷は、円柱導体の外側表面に分布する。円柱の中心軸を中心として、半径ｒ、高さＨの円柱閉曲面でガウスの定理を使えば、
電界が中心軸から外に向かう方向にあることを考慮して、
ｒ＜ａのとき Ｅ＝０ 〔Ｖ／ｍ〕
ｒ＞ａのとき Ｅ＝λ／２πε0ｒ 〔Ｖ／ｍ〕（電界は外向きを正とした）
② ①において、円筒導体の中心軸からの距離Ｒ〔ｍ〕における電位を円筒導体の中心を電位の基準として求めよ。
答
電位φ＝∫－Ｅd ｒ（ｒ；０～Ｒ）
＝０ 〔Ｖ〕 （Ｒ＜ａ）
＝λ／２πε0*ｌｏｇ（ａ／Ｒ）〔Ｖ〕（ａ＜Ｒ）
③ ②において、全体を比誘電率εｒの媒質で満たした。電位はどうなるか。
答
電界が１／εrになるので、電位も真空中に比べて、１／εrになる。
II 接地した無限に広い平板導体から距離Ｈ〔ｍ〕の位置に、ｑ〔Ｃ〕の点電荷がある。次の問に答えよ。
① 点電荷に働く力を求めよ。
答
影像電荷の要点を参考にする。
ｑ〔Ｃ〕の点電荷より導体表面に向かって、２Ｈ〔ｍ〕の距離に－ｑ〔Ｃ〕の影像電荷を考えればよい。
Ｆ＝－ｑ２／４πε0（２Ｈ）２＝－ｑ２／１６πε0Ｈ２〔Ｎ〕
引力としてｑ２／１６πε0Ｈ２〔Ｎ〕なる力が働く。
② 平板導体表面に誘起される電荷の面密度を座標を適当に設定して求めよ。
答
影像電荷の要点を参考にする。
面電荷密度をσ〔Ｃ／ｍ２〕、点電荷から導体表面に下ろした垂線の足から、電荷密度を知りたい点までの距離をｒ〔ｍ〕とおけば、
σ＝－ｑＨ／２π（ｒ２＋Ｈ２）〔Ｃ／ｍ２〕
III 真空中の点（１，１，１）〔ｍ〕にＱ１〔Ｃ〕の点電荷、点（－１，－１，－１）〔ｍ〕にＱ２〔Ｃ〕の点電荷がある。以下の問いに答えよ。
① Ｑ１＝－Ｑ２＝１×１０－９〔Ｃ〕のとき、原点における電界、電位、電束密度、単位体積当たりの静電エネルギーを求めよ。
答
点（１，１，１）〔ｍ〕にあるＱ１〔Ｃ〕の点電荷が原点に作る電界Ｅ１は、
Ｅ１＝Ｑ１／４πε０３３／２（－１，－１，－１）
点（－１，－１，－１）〔ｍ〕にあるＱ２〔Ｃ〕の点電荷が原点に作る電界Ｅ２は、
Ｅ２＝Ｑ２／４πε０３３／２（１，１，１）
よって、原点における電界Ｅは、Ｑ１＝－Ｑ２＝１×１０－９〔Ｃ〕を考慮して、
Ｅ＝１×１０－９×２／４πε０３３／２（－１，－１，－１）＝６（－１，－１，－１）／３１／２〔Ｖ／ｍ〕
電位は、それぞれの点電荷による電位を足せばよい。両方の点電荷から等距離にあるので、０〔Ｖ〕
電束密度Ｄはε０Ｅ＝６ε０（－１，－１，－１）／３１／２＝３．０７×１０－１１（－１，－１，－１）〔Ｃ／ｍ２〕
単位体積当たりの静電エネルギーはＥ・Ｄ／２であるので、１８ε０＝１．５９×１０－１０〔Ｊ／ｍ３〕
② ①で、全体を比誘電率 2 の媒質で満たした。原点における電界、電位、電束密度を求めよ。
答
電界と電位は、比誘電率に反比例する。①を参考にして、
Ｅ＝３（－１，－１，－１）／３１／２〔Ｖ／ｍ〕
電位は、もともと０〔Ｖ〕であるから、０〔Ｖ〕
電束密度は変わらず、３．０７×１０－１１（－１，－１，－１）〔Ｃ／ｍ２〕
③ ①で、電位が０〔Ｖ〕の等電位面を求めよ。
答
両電荷を結ぶ垂直二等分面になるので、ｘ＋ｙ＋ｚ＝０
④ Ｑ１＝Ｑ２＝１×１０－４〔Ｃ〕のとき、１×１０－５〔Ｃ〕の点電荷を、ｘ軸上の正の無限の遠方から原点まで移動させた。この点電荷の得たポテンシャルエネルギーを求めよ。
答
原点の電位φは、
φ＝２×１０－４／４πε０３１／２〔Ｖ〕であるから、
エネルギー Ｗ＝１×１０－５φ＝６×３１／２〔Ｊ〕
④ ④で、原点にある１×１０－５〔Ｃ〕の点電荷に働く力を求めよ。
答
電界の大きさが、０〔Ｖ／ｍ〕であるから、力は０〔Ｎ〕
これ以降はありません
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