① 円筒導体２の外側表面を接地して、円筒導体１に単位長さ当たりλ[C/m]の電荷を与えた。円筒導体１および円筒導体２には、どの様に電荷が分布するか。
円筒導体１について－－－
円筒導体２について－－－
導体では、電荷は表面に分布し、導体内部には電界は存在しない。円筒導体の内側表面のごく内側での電界が、λ/2πε0Ｒ2であることを考慮して、円筒導体の内側表面を挟んでガウスの定理を用いれば、円筒導体の内側表面には、－λ/2πＲ2[C/m2]の電荷が分布することが導かれる。円筒導体の外側表面は、接地されており、電位は'０'である。無限の遠方でも電位は'０'であるから、円筒導体の外側表面には電荷は分布しない。
② ①において、円筒導体１の中心軸からの距離ｒ[m]における電界の大きさを求めよ。
答
同軸の中心を中心として、半径ｒ、高さＨの円柱閉曲面でガウスの定理を使えば、
ｒ＜Ｒ1、Ｒ2＜ｒのとき Ｅ＝０ [V/m]
Ｒ1＜ｒ＜Ｒ2 のとき Ｅ＝λ/2πε0ｒ [V/m]
③ ①において、円筒導体１の中心軸からの距離Ｒ[m]における電位を求めよ。
答
電位φ＝∫－Ｅdr（ｒ；Ｒ2～Ｒ）
＝０ [V] （Ｒ2＜Ｒ）
＝λ/2πε0*ｌｏｇ（Ｒ2/Ｒ） [V] （Ｒ1＜Ｒ＜Ｒ2）
＝λ/2πε0*ｌｏｇ（Ｒ2/Ｒ1） [V] （Ｒ＜Ｒ1）
④ ③において、全体を比誘電率εrの媒質で満たした。電位はどうなるか。
答
電界が１／εrになるので、電位も真空中に比べて、１／εrになる。
⑤ ④において、円筒導体１と円筒導体２の間の単位長さ当たりの静電容量を求めよ。
答
電位差φ0がλ/2πε0εr*ｌｏｇ（Ｒ2/Ｒ1）であるから単位長さあたりの静電容量ＣLは、
ＣL＝λ/φ0＝2πε0εr/ｌｏｇ（Ｒ2/Ｒ1） [F/m]
⑥ εr＝２、Ｒ1＝１.１[mm]、Ｒ2＝３[mm]、ｔ1＝ｔ2＝０.１[mm]とする。 ⑤において、単位長さ当たりの静電容量はいくらか。 （ ただし、ｌｏｇe（３／１.１）＝１、ε0＝８.８５４×１０-12[C/Vm]としてもよい。
答
⑤を参考にして、
ＣL＝2πε0εr/ｌｏｇ（Ｒ2/Ｒ1）
＝2π×８．８５４×１０-12×２
＝１．１×１０-10 [F/m] ＝１１０[pF/m]
II 真空中に接地された無限に広い平面導体がある。次の問に答えよ。必要な座標は各自で設定せよ。
① Ｑ[C]の点電荷を無限の遠方から、平面導体の表面からの高さＨ[m]の位置へ近づけた。点電荷の受ける力を求めよ。
答
導体平面表面に対して反対の位置に－Ｑ[C]の影像電荷を考えればよいので、Ｑ[C]の点電荷の受ける力は導体平面に近づく方向に働き、
その大きさは、距離が２Ｈになるので、Ｈの増加する方向に力の方向をそろえて、
Ｆ＝－Ｑ2／４πε0（２Ｈ）2＝－Ｑ2／１６πε0Ｈ2 [N]
② ①において、点電荷の獲得した静電ポテンシャルエネルギーを求めよ。
答
ポテンシャルエネルギーφは、
φ＝∫－ＦｄＨ（Ｈ；∞～Ｈ）＝－Ｑ2／１６πε0Ｈ [J]
③ ①において、平面導体にはどの様な現象が起きているか。
答
Ｑ[C]の点電荷から見て、－Ｑ[C]の点電荷が導体平面表面に対して反対の位置にあるかのような電界を引き起こすように導体表面に電荷が誘起される。
導体表面のある点Ｒに誘起される電荷は、影像電荷での議論を参考にして、Ｑ[C]の点電荷から導体平面に下ろした垂線の足から
Ｒまでの距離をｒ[m]とすれば、面電荷密度σ(r)[C/m2]として、
σ（ｒ）＝－Ｑ／２π*Ｈ／（ｒ2＋Ｈ2）3/2
と表される。
III 真空中の点（０，－１，０）[m]にＱ1[C]の点電荷、点（０，１，０）[m]にＱ2[C]の点電荷がある。以下の問いに答えよ。
① Ｑ1＝－Ｑ2＝１×１０-9[C]のとき、原点における電界、電位、電束密度、単位体積当たりの静電エネルギーを求めよ。
答
原点における電界、電束密度はＹ軸の方向を向くので、Ｙ成分だけについて考える。Ｙ軸の正の方向に電界Ｅと電束密度Ｄの正の方向を選んで、
電界 ： Ｅ＝（Ｑ1－Ｑ2）／４πε0 [V/m]
電束密度 ： Ｄ＝（Ｑ1－Ｑ2）／４π [C/m2]
電位 ： φ＝（Ｑ1＋Ｑ2）／４πε0 [V]
単位体積当たりの静電エネルギー ： ｗ＝ＥＤ／２ [J/m3]
ゆえに、与えられた電荷に対しては、
電界 ： 18 [V/m]
電束密度 ： 1.6×10-10 [C/m2]
電位 ： 0 [V]
単位体積当たりの静電エネルギー ： 1.44×10-9 [J/m3]
② Ｑ1＝Ｑ2＝１×１０-9[C]のとき、原点における電界、電位、電束密度、単位体積当たりの静電エネルギーを求めよ。
答
①を参考にして、
電界 ： 0 [V/m]
電束密度 ： 0 [C/m2]
電位 ： 18 [V]
単位体積当たりの静電エネルギー ： 0 [J/m3]
③ ①で、全体を比誘電率 2 の媒質で満たした。原点における電界、電位、電束密度を求めよ。
答
電界、電位は比誘電率に反比例するので、
電界 ： 9 [V/m]
電束密度 ： 1.6×10-10 [C/m2]
電位 ： 0 [V]
単位体積当たりの静電エネルギー ： 0.72×10-9 [J/m3]
④ ②で、全体を比誘電率 2 の媒質で満たした。原点における電位と、単位体積当たりの静電エネルギーを求めよ。
答
③と同様にして、
電界 ： 0 [V/m]
電束密度 ： 0 [C/m2]
電位 ： 9 [V]
単位体積当たりの静電エネルギー ： 0 [J/m3]